2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Работа по поднятию цилиндра с газом
Сообщение24.10.2017, 14:43 


20/04/10
1776
Горизонтально расположенный цилиндр длины $h$ с площадью сечения $S$ заполнен идеальным газом ($N$ частиц массы $m$). Какую работу необходимо совершить, чтобы перевести цилиндр в вертикальное положение (массу цилиндра не учитывать)? Считать, что подъём осуществляется медленно, при этом температура газа в цилиндре и температура окружающей среды $\theta=kT$. Поле тяжести однородно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Работа по поднятию цилиндра с газом
Сообщение25.10.2017, 06:12 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Если $kT\gg mgh$, все просто. Если нет, считать положение центра масс в горизонтальном состоянии муторно и неохота.

 Профиль  
                  
 
 Re: Работа по поднятию цилиндра с газом
Сообщение25.10.2017, 08:57 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Так а тут при малых температурах вообще непонятно, что значит температура газа. Если газ идеальный, считается что его молекулы не сталкиваются друг с другом, а только со стенками.
Поэтому температура падает с высотой (с падением вертикальной составляющей скорости).
И что в таких условиях прикажете делать с "температурой" газа и температурой стенок. Когда процесс все время неравновесный. Или будем считать вопреки всему, что соударения молекул газа со стенками типа соударений идеальных шаров? Хотелось бы более прозрачных формулировок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Работа по поднятию цилиндра с газом
Сообщение25.10.2017, 09:01 


27/08/16
9426
fred1996 в сообщении #1258801 писал(а):
Поэтому температура падает с высотой
Нет. С высотой падает давление, а не температура идеального газа. Скорость падает, но самые медленные молекулы удаляются из распределения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Работа по поднятию цилиндра с газом
Сообщение25.10.2017, 10:31 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Ну так можно ли считать, что давление в замкнутом сосуде уменьшается с высотой по экспоненте? Тогда это просто счетная задача, которую решать не интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Работа по поднятию цилиндра с газом
Сообщение25.10.2017, 10:34 


27/08/16
9426
fred1996 в сообщении #1258823 писал(а):
Ну так можно ли считать, что давление в замкнутом сосуде уменьшается с высотой по экспоненте? Тогда это просто счетная задача, которую решать не интересно.
Не совсем. Сосуд не теплоизолирован.

 Профиль  
                  
 
 Re: Работа по поднятию цилиндра с газом
Сообщение25.10.2017, 10:41 


20/04/10
1776
DimaM в сообщении #1258794 писал(а):
Если $kT\gg mgh$, все просто.

Да, это так. В этом случае распределение частиц почти однородно. С точностью до членов порядка $(mg/\theta)^2$ ответ будет совпадать с ответом для подъёма однородного цилиндра массой $Nm.$
DimaM в сообщении #1258794 писал(а):
считать положение центра масс в горизонтальном состоянии муторно и неохота.

Дополним условие требованием $h\gg \sqrt{S/\pi}$, т.е. высота цилиндра много больше его радиуса. Таким образом, мы поймаем сразу двух зайцев: 1) не надо рассчитывать центр масс в горизонтальном положении, можно считать, что он находится в центре цилиндра, это приведёт к ошибке порядка $\sqrt{S}/h$.
2) Если считать, что цилиндр лежит на столе и имеет ненулевой радиус основания, то пришлось бы учитывать эффект вставания на ребро (на окружность основания). Подобно тому как если мы хотим перевернуть на столе однородный кубик с ребром $a$ (осуществить поворот возле одного из его рёбер), нам придётся поднять его центр масс на высоту $a/2(\sqrt{2}-1)$. Введённое выше условие позволяет этот эффект не учитывать.
Возможно, что более удачно было бы подвесить трубку за её середину на перекладину перпендикулярно ей, с возможностью вращаться. Тогда вопрос звучал бы так - какую работу нужно совершить, чтобы из вертикального - устойчивого положения равновесия перевести трубку в горизонтальное положение. Но раз уж задача сформулирована так как сформулирована, то решать предлагаю именно исходную с дополнительным условием малости радиуса основания в сравнении с длиной цилиндра. Для красивой формы ответа положим, что $S=1\text{см}^2.$
fred1996 в сообщении #1258801 писал(а):
Если газ идеальный, считается что его молекулы не сталкиваются друг с другом, а только со стенками.

Это неверно, почитайте школьный учебник или

(Оффтоп)


fred1996 в сообщении #1258801 писал(а):
Так а тут при малых температурах вообще непонятно, что значит температура газа.

В этой классической задаче не рассматриваем температуры ниже чем температура вырождения, можно считать, что выполняется уравнение состояния ид. газа во всей интересующей нас области температур и теплоёмкость при постоянном объёме постоянна.
fred1996 в сообщении #1258801 писал(а):
Когда процесс все время неравновесный.
Процесс подъёма квазистатический, я об этом писал - медленно.
fred1996 в сообщении #1258823 писал(а):
Ну так можно ли считать, что давление в замкнутом сосуде уменьшается с высотой по экспоненте?

Разумеется, в любом равновесном состоянии получим распределение Больцмана, но соль задачи не в этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Работа по поднятию цилиндра с газом
Сообщение25.10.2017, 10:51 


27/08/16
9426

(идея решения)

В общем, нужно посчитать изменение внутренней потенциальной энергии и энтропии в начальном и конечном состояниях. Так как процесс квазистатический - всё изменение энтропии связано с теплопередачей через стенки. Искомая работа равна изменению внутренней энергии потенциальной энергии в поле гравитации плюс количество ушедшего тепла. Потенциальную энергию и энтропию идеального газа считаем интегрированием по высоте с использованием распределения Больцмана.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group