2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непрерывность по Дедекинду
Сообщение22.10.2017, 10:32 


03/07/15
200
По Дедекинду множество является непрерывным если существует ровно один наибольший/наименьший элемент в нижнем/верхнем классе соответственно. Геометрически это объясняется так: если существуют оба элемента то мы имеем место со "скачком" (т.е. из прямой удален интервал). Если отсутсвуют оба элемента, то имеется "пробел" (из прямой удален отрезок). Как я понял, именно отсутствием таких "пустот" называют непрерывность.

Но есть же еще один случай почему-то не рассмотренный в тех источниках которые я читал - если из прямой удален полуинтервал. Причем этот случай соответствует критерию непрерывности Дедекинда. Например, удалим из $\mathbb{R}$ полуинтервал $(0;1]$. И рассмотрим очевидное разбиение на два класса. Тогда в левом классе сечения будет наибольший элемент (ноль), а в правом классе наименьшего не будет. Получается такое множество по Дедекинду непрерывно, но с другой стороны во множестве есть "пустота". Как это объяснить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность по Дедекинду
Сообщение22.10.2017, 10:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
А такое множество изоморфно обычной прямой как топологическое пространство с порядком. Так что отличить его от прямой не удастся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность по Дедекинду
Сообщение22.10.2017, 11:08 


03/07/15
200
Ок, еще такой вопрос. По аксиоме непрерывности как она дается в учебнике (например Зорича) множество $\mathbb{Z}$ - непрерывно. А по Дедекинду - не непрерывно. Как это понимать? По идее эти аксиомы должны быть эквивалентны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность по Дедекинду
Сообщение22.10.2017, 11:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
mihaild в сообщении #1257860 писал(а):
А такое множество изоморфно обычной прямой как топологическое пространство с порядком.
Изоморфно как пространство с порядком - это да.

Но не как топологическое пространство!

student1138 в сообщении #1257854 писал(а):
Но есть же еще один случай почему-то не рассмотренный в тех источниках которые я читал - если из прямой удален полуинтервал. Причем этот случай соответствует критерию непрерывности Дедекинда. Например, удалим из $\mathbb{R}$ полуинтервал $(0;1]$. И рассмотрим очевидное разбиение на два класса. Тогда в левом классе сечения будет наибольший элемент (ноль), а в правом классе наименьшего не будет. Получается такое множество по Дедекинду непрерывно, но с другой стороны во множестве есть "пустота". Как это объяснить?
Да, такое множество будет непрерывным по Дедекинду, потому что структура порядка у него не отличается от порядка на обычной прямой. Непрерывность по Дедекинду - относится именно к структуре порядка.

Как топологические пространства различить их можно, для этого используется не понятие "непрерывности по Дедекинду", а понятие связности. Числовая прямая связна ("не имеет дырок"), прямая с выкинутым полуинтервалом несвязна.

Привыкайте, что в математике одному и тому же интуитивному понятию может соответствовать несколько разных строгих определений. Причём каждое из них соответствует этому интуитивному понятию только в каких-то условиях, а в других перестаёт соответствовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность по Дедекинду
Сообщение22.10.2017, 11:32 


03/07/15
200
Я вот что заметил: на вопросы из начальных глав учебника по анализу мне дают ответы в топологических понятиях. Может быть тогда имеет смысл не читать учебник по анализу а сразу читать топологию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность по Дедекинду
Сообщение22.10.2017, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
student1138 Ну, собственно в начальных разделах учебников как раз и обсуждают топологию, только в ее частном случае, на вещественной прямой.
Но все-таки общая топология не должна опережать "матанализ". Просто методически. Сначала надо освоиться с частным случаем, а потом переходить на общий. В крайнем случае можно изучать их параллельно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group