2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Исследование отображения на мономорфизм
Сообщение17.10.2017, 09:55 
Аватара пользователя


05/05/11
33
Доброго дня!
Подскажите, пожалуйста, где можно почитать и посмотреть пример решения задач вот такого типа:

Исследовать отображение $f:R^2\rightarrow L(2)$; $f((x;y))=\left( \begin{array}{cc} x & -y \\ 
y & x \end{array} \right)$ на мономорфизм, эпиморфизм, изоморфизм. Найти ядро и образ отображения.

Насколько я знаю помню, ядро - это прообраз нулевого элемента.
То есть $\ker(f)=(0;0)$.
Так?
А образ? Это просто множество матриц вида $\left(\begin{array}{cc} x & -y \\ 
y & x \end{array}\right)$?

Ничего не понятно :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование отображения на мономорфизм
Сообщение17.10.2017, 14:54 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
NeRRR в сообщении #1256294 писал(а):
Так?

Так.

NeRRR в сообщении #1256294 писал(а):
А образ? Это просто множество матриц специального (мое прим.) вида?

Да.

NeRRR в сообщении #1256294 писал(а):
Ничего не понятно :cry:

Мономорфизм, он же инъективность, переводит разные вещи в разные. То есть, не может быть такого, чтобы при мономорфизме два разных элемента отобразились в одно и то же.

У Вас там пары чисел переводятся в матрицы (ну, или операторы при выделенном базисе $-$ как Вам угодно). Соответственно, вопрос состоит в том, могут ли две разные пары перевестись в одну и ту же матрицу. Надеюсь, я Вас не слишком запутал?


Теперь про эпиморфизм. Вам надо выяснить совпадает ли образ (который Вы, кстати, нашли) с множеством $L(2)$? Если совпадет, то $f$ будет эпиморфизмом, а нет $-$ нет.

В общем случае, отображение $g: A \to B$ называется эпиморфизмом (или сюръекцией), если $g(A) = B.$.

-- 17.10.2017, 15:55 --

NeRRR в сообщении #1256294 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, где можно почитать и посмотреть пример решения задач вот такого типа:

Винберг - "Курс алгебры". Главы 2, 5, 6.

-- 17.10.2017, 16:00 --

Я тут подумал: за такие определения адепты теорката камнями кидаются. Во избежание этого, оставлю еще одну рекомендацию:
Aluffi - Algebra. Chapter 0. Первые главы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование отображения на мономорфизм
Сообщение18.10.2017, 12:33 
Аватара пользователя


05/05/11
33
SomePupil
Спасибо!
Таким образом, изоморфизм = биекция?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование отображения на мономорфизм
Сообщение18.10.2017, 12:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
NeRRR в сообщении #1256493 писал(а):
изоморфизм = биекция?
А определение изоморфизма какое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование отображения на мономорфизм
Сообщение18.10.2017, 13:52 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
NeRRR в сообщении #1256493 писал(а):
Таким образом, изоморфизм = биекция?

Не всегда. На изоморфизм обычно налагаются дополнительные ограничения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование отображения на мономорфизм
Сообщение19.10.2017, 10:44 
Аватара пользователя


05/05/11
33
SomePupil
Но можно ли сказать, что если не биекция, то не изоморфизм?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование отображения на мономорфизм
Сообщение19.10.2017, 16:14 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование отображения на мономорфизм
Сообщение19.10.2017, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
NeRRR в сообщении #1256847 писал(а):
Но можно ли сказать, что если не биекция, то не изоморфизм?
NeRRR, ещё раз повторяю вопрос:
Someone в сообщении #1256496 писал(а):
А определение изоморфизма какое?
Как только определение изоморфизма будет Вами сформулировано и понято, так подобные вопросы сразу же станут тривиальными.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group