2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказательство непрерывности отображения
Сообщение17.10.2017, 12:25 


11/12/16
403
сБп
Проверьте пожалуйста доказательство. Верно ли оно? Прошу помочь если что не так.

Задача. Пусть $A$ - контур равностороннего треугольника, а $B$ - описанная вокруг него окружность. Тогда центральное проектирование $p$ точек множества $A$ на окружность является отображением $p: A \to B$. Доказать, что данное отображение непрерывно.

Доказательство (моя версия). Очевидно, что можно задать радиус - отрезок соединяющий центр окружности с любой точкой (пусть это будет некоторая исходная точка $b$), лежащей на окружности. Центр равностороннего треугольника является центром описанной окружности. Радиус пересекается (имеет общую точку, пусть $a$) с контуром треугольника. При любых поворотах, на радиусе всегда можно найти две точки принадлежащие $A$ и $B$. Любой точке окружности будет соответствовать какая то одна точка $B$ и наоборот. Если мы повернем радиус на сколь угодно малый угол, то получим новое положение (новую точку $b'$) на окружности, которая будет мало отличаться от исходной точки. Этой новой точке будет соответствовать новая точка на $a' \in A$, которая тоже будет мало отличаться от исходной точки $a$, так как лежит на радиусе. Мы можем это сделать для любых точек $A$ и $B$, выполнив круговое движение. Таким образом отображение $p: A \to B$ непрерывно в каждой точке множества $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности отображения
Сообщение17.10.2017, 13:17 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
Я начал бы с формулировки определения непрерывности и следовал бы ему. Я использовал бы слово «окрестность» в доказательстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности отображения
Сообщение17.10.2017, 13:37 


11/12/16
403
сБп
Дано такое определение. Отображение$ f: A \to B $ называется непрерывным в точке $x_0 \in A$, если для $x$, «мало» отличающихся от $x_0$, значения $f(x)$ и $f(x_0)$ тоже «мало» отличаются друг от друга. Отображение $ f: A \to B $ непрерывно, если оно непрерывно в каждой точке множества $A$. Я исходил из этого.

Слово «окрестность» не приводилось. Поэтому я его не использовал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности отображения
Сообщение17.10.2017, 14:00 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
Насколько мало в первом случае и насколько мало во втором. В хорошем определении эти малости возможно не одинаковые. Приведу такое определение непрерывности в точке $a$ для этого примера:
Для любой окрестности $V(p(a))$ точки $p(a)$ на окружности существует окрестность $U(a)$ точки $a$ на треугольнике такое, что для любого $x\in U(a)$ имеем $p(x)\in V(p(a))$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности отображения
Сообщение17.10.2017, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
gogoshik в сообщении #1256317 писал(а):
Слово «окрестность» не приводилось. Поэтому я его не использовал.

Вы случаем не с философского факультета? :-) В таком случае Ваше "доказательство" сгодится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности отображения
Сообщение17.10.2017, 15:35 


11/12/16
403
сБп
demolishka в сообщении #1256326 писал(а):
gogoshik в сообщении #1256317 писал(а):
Слово «окрестность» не приводилось. Поэтому я его не использовал.

Вы случаем не с философского факультета? :-) В таком случае Ваше "доказательство" сгодится.


Хм. А что не так с доказательством то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности отображения
Сообщение17.10.2017, 16:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
gogoshik в сообщении #1256358 писал(а):
Хм. А что не так с доказательством то?

Оно конечно доказательство, но на уровне "немного пошевелим тут, там тоже изменится немного, значит отображение непрерывно". С таким успехом можно вообще ничего не писать и нарисовать картинку. Все-таки если это задача учебного характера для человека, который только вот начал изучать топологию, то от него требуется написание всех формальностей связанных с соответствующими топологиями и непрерывностью. Это нужно для того, чтобы проверить действительно ли Вы понимаете те вещи, которые стоят за этими взмахами руками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности отображения
Сообщение17.10.2017, 17:37 


11/12/16
403
сБп
demolishka в сообщении #1256372 писал(а):
Оно конечно доказательство, но на уровне "немного пошевелим тут, там тоже изменится немного, значит отображение непрерывно" ...


Ой, Вы попали в точку ) Я только начинаю изучать по книжке (библиотечка КВАНТ), которая написана в том числе и для школьников. Высоким уровнем не владею.
Объясните плиз, что не так в доказательстве, что мне надо сделать, чтобы поднять уровень доказательства. Очень-очень хочу понять. Без Вашей любезной помощи видимо не обойдусь )

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности отображения
Сообщение17.10.2017, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
gogoshik в сообщении #1256385 писал(а):
Я только начинаю изучать по книжке (библиотечка КВАНТ), которая написана в том числе и для школьников.

Тогда конечно представленное доказательство сойдет, поскольку даже
gogoshik в сообщении #1256317 писал(а):
Слово «окрестность» не приводилось.

Но учтите, что это всего лишь взмахи руками и пока Вы не поймете, какие математические формальности стоят за этими взмахами, это можно считать просто развлечением и ничем более. Конечно такие математические формальности это сплошное занудство, но без понимания того как они работают на таких простых примерах, будет сложно в дальнейшем изучать что-то более сложное. Чтобы повысить математический уровень доказательства надо взять учебник топологии и прорабатывать его с самого начала. Это если невтерпеж. Вы, вроде как, первокурсник, так что лучше подождите пока начнутся лекции по топологии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности отображения
Сообщение17.10.2017, 21:11 


11/12/16
403
сБп
Спасибо ) Ну подскажите тогда мне плиз про эти математические формальности, чтобы доказательство обрело более высокий уровень. Я готов внимательно слушать и делать. Думаю, что на этом форуме есть хорошие учителя и Вы может быть в том числе. Вся надежда на вас.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности отображения
Сообщение17.10.2017, 21:26 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
:-) Тут надо начинать с определения пространства, от этого зависит общность остальных определений. Курс, который вы рассматриваете, по анализу, метрическим пространствам, топологии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности отображения
Сообщение17.10.2017, 21:34 


11/12/16
403
сБп
Думаю, что по топологии (ну так книжка называется - Наглядная топология). Там эта задача приводится на первых страницах, после некоторого рассказа про непрерывность и отображения. Про пространства авторы пока ничего не говорят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности отображения
Сообщение17.10.2017, 22:23 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Хм, ну, топология — это хорошо, но если начать с общетопологического определения топологического пространства, вы наверняка точно запутаетесь, потому что такие пространства очень разнообразны, а в книге, скорее всего, рассматриваются в основном более-менее хорошие (например, многообразия; треугольник и окружность — они). Кто-нибудь что-нибудь посоветует. Ну, можно начать с определений окрестностей, предела и непрерывности в $\mathbb R^n$, а потом обобщать. Эти обычно можно найти в учебнике матанализа, притом там сначала рассматривается просто $\mathbb R$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group