Теорема о мощности промежуточного множества

[Annafox]

Помогите разобраться с заданиями
1. Исходя из того, что замкнутый единичный квадрат, а также вся плоскость имеет мощность континуума, показать, что любой замкнутый квадрат, любой открытый квадрат, круг, внутренность любого эллипса, открытая полуплоскость имеют мощность континуума.
2. Показать, что любое плоское множество, обладающее внутренней точкой, имеет можность континуума.
3. Доказать, что множество всех сегментов на числовой оси имеет мощность континуума.

Для первых двух задач я подумала, что тк по условию квадрат имеет мощность континуума, то если построить взаимооднозначное отображение на него этих фигур, то они тоже будут иметь мощность континуума. А во второй задачи я так понимаю, плоскость имеет мощность континуума, то и любое плоское множество будет иметь ту же мощность?
А вот с третьей задачей я не могу разобраться.
Пожалуйста помогите с этими задачами, как правильно их оформить?

[mihaild]

(Оффтоп)

Annafox в сообщении #1255394 писал(а):

по условию квадрат имеет мощность континуума

Он просто имеет такую мощность, для этого дополнительные условия не нужны.

Annafox в сообщении #1255394 писал(а):

любое плоское множество будет иметь ту же мощность?

"Плоское множество" - это подмножество плоскости? Является ли множество из точки $\{(0, 0)\}$ плоским?

Annafox в сообщении #1255394 писал(а):

А вот с третьей задачей я не могу разобраться.

Сегменты можно некоторым довольно разумным образом вложить в плоскость.

(вы знаете теорему Кантора-Бернштейна о том, что если два множества можно инъективно отобразить друг в друга, то между ними есть биекция? если да, то она тут поможет - будет достаточно вместо строгих биекций строить инъекции, которые часто хотя бы в одну сторону тривиальны)

[Annafox]

Не понимаю, что они имеют в виду под плоским множеством.
Теорему узнала только сегодня, но применять в решении задач -ещё не научилась

-- 13.10.2017, 22:09 --

А что насчёт первой задачи? Я права в своем предположении?

[Someone]

Annafox в сообщении #1255495 писал(а):

Не понимаю, что они имеют в виду под плоским множеством.

Ну, это же Вы написали

Annafox в сообщении #1255394 писал(а):

любое плоское множество будет иметь ту же мощность?

А в задании 2 упоминается

Annafox в сообщении #1255394 писал(а):

любое плоское множество, обладающее внутренней точкой

На что Вам и намекает mihaild.
А "плоское множество" — это, очевидно, множество, лежащее в плоскости.

Annafox в сообщении #1255495 писал(а):

Теорему узнала только сегодня, но применять в решении задач -ещё не научилась

Вот и учитесь. Применяется она настолько просто, что тут трудно объяснить, не дав полное решение, а это запрещено правилами.

[mihaild]

Annafox в сообщении #1255495 писал(а):

А что насчёт первой задачи? Я права в своем предположении?

Дайте определение понятию "множество имеет мощность континуум".
(из стандартного определения сразу следует ответ на ваш вопрос)