2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сравнение топологий в R, порождённых монотонной функцией
Сообщение13.10.2017, 11:55 
Аватара пользователя


04/12/10
115
Пусть $f: \mathbb R \to \mathbb R$ -- строго монотонная функция. Рассмотрим метрику на $\mathbb R$
$$
d(x,y) = |f(x) - f(y)|, \quad x,y \in \mathbb R.
$$
Оббязательно ли топология, порождённая такой метрикой, содержит стандартную топологию прямой? Если $f$ непрерывна, или точки разрыва изолированы, это так. А если $f$ "совсем плохая"? Скажем, разрывна в каджой рациональной точке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнение топологий в R, порождённых монотонной функцией
Сообщение13.10.2017, 12:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
А в чём проблема?

Если мы докажем, что любой интервал открыт в Вашей топологии, то вопрос будет решён: вместе с интервалами и любое открытое в стандартной топологии множество будет открыто в Вашей.

Берём интервал $(a,b)$. Пусть он не открыт в Вашей топологии. Это значит, что у какой-то точки $x_0\in(a,b)$ любая окрестность вылезает за его рамки. В том числе и окрестность $O_r(x_0)=\{x\,|\,|f(x)-f(x_0)|<r\}$ с любым $r>0$. Со строгой монотонностью $f$ противоречие получится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнение топологий в R, порождённых монотонной функцией
Сообщение13.10.2017, 18:59 
Аватара пользователя


04/12/10
115
И правда. Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group