2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 волчок Лагранжа
Сообщение12.10.2017, 17:59 


31/08/17
209
Рассмотрим волчок Лагранжа и движения при которых в сферическом слое вырисовывается кривая с петлями. Угол нутации изменяется по периодическому закону: $\theta(t+\omega)=\theta(t)$. То, что ось волчка вращается вокруг вертикальной оси, хотя и с попятными движениями означает, что $\int_0^\omega\psi(t)dt\ne 0$. А как это доказать? Разумеется интересует доказательство на математическом уровне строгости. Ни где, кроме монографии Аппеля, этот вопрос даже не ставится. Аппель пишет, что строгое доказательство завело бы нас слишком далеко, поэтому мы просто это примем.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: волчок Лагранжа
Сообщение13.10.2017, 22:59 
Заслуженный участник


03/01/09
1173
москва
Хотелось бы уточнить, а интеграл берется не от $\dot \psi ?$

 Профиль  
                  
 
 Re: волчок Лагранжа
Сообщение14.10.2017, 01:17 


31/08/17
209
pardon, должно быть $\int_0^\omega\dot\psi(t)dt\ne 0$. Однако, задача решена, вопрос снят

 Профиль  
                  
 
 Re: волчок Лагранжа
Сообщение14.10.2017, 13:17 


31/08/17
209
я поспешил, задача не решена ,вопрос остается

 Профиль  
                  
 
 Re: волчок Лагранжа
Сообщение16.10.2017, 15:49 
Заслуженный участник


03/01/09
1173
москва
Удалил.

 Профиль  
                  
 
 Re: волчок Лагранжа
Сообщение16.10.2017, 22:39 
Заслуженный участник


17/09/10
1618
С решением задачи можно ознакомиться здесь http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9658909z/f232.image

 Профиль  
                  
 
 Re: волчок Лагранжа
Сообщение16.10.2017, 23:09 


31/08/17
209
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: волчок Лагранжа
Сообщение06.11.2017, 14:40 


31/08/17
209
Обнаружил элементарное доказательство этого факта в учебнике ЮФ Голубева Основы теор мех В моем издании это стр 485
Однако, мне там не все понятно. scwec, посмотрите, пожалуйста подробно текст Голубева.

 Профиль  
                  
 
 Re: волчок Лагранжа
Сообщение09.11.2017, 18:31 
Заслуженный участник


17/09/10
1618
Посмотрел. Вполне приличный текст в принятой в то время стилистике.
Заодно вспомнил ЮФ, который в мою студенческую пору вёл на кафедре семинар по дифференциальным играм.

 Профиль  
                  
 
 Re: волчок Лагранжа
Сообщение09.11.2017, 18:36 


31/08/17
209
Вы понимаете откуда взялась эта формула?
$$\omega_{\mbox{п}}=\frac{\boldsymbol e_3\times \boldsymbol  K}{K^2_r}\cdot\frac{d\boldsymbol  K}{dt}$$
я -- нет

 Профиль  
                  
 
 Re: волчок Лагранжа
Сообщение09.11.2017, 19:53 
Заслуженный участник


17/09/10
1618
C формулами надо разбираться. Пока ответа нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: волчок Лагранжа
Сообщение10.11.2017, 18:54 
Заслуженный участник


17/09/10
1618
Похоже, что эта формула для угловой скорости вращения плоскости вокруг оси $e_3$ через векторы $K$ и $e_3$ верна безотносительно к природе этих векторов.
Либо нужно её где-то найти, возможно, она есть и в этой книжке в разделе Кинематика (а лучше доказать самостоятельно).
Позже посмотрю, может удастся встретить её где-нибудь у Виттенбурга.

 Профиль  
                  
 
 Re: волчок Лагранжа
Сообщение10.11.2017, 22:07 


31/08/17
209
scwec в сообщении #1264108 писал(а):
а лучше доказать самостоятельно)

попробуем самостоятельно
$$\boldsymbol K_r:=\boldsymbol K-(\boldsymbol K,\boldsymbol e_3)\boldsymbol e_3,\quad \boldsymbol e_2:=\frac{\boldsymbol K_r}{|\boldsymbol K_r|},\quad \boldsymbol e_1:=[\boldsymbol e_3,\boldsymbol e_2]$$
тогда $$\boldsymbol\omega_{\mbox{п}}=(\boldsymbol{\dot e}_1,\boldsymbol e_2)\boldsymbol e_3=-(\boldsymbol{\dot e}_2,\boldsymbol e_1)\boldsymbol e_3$$
отсюда действительно сразу следует результат (с точностью до знака) Вроде разобрался

 Профиль  
                  
 
 Re: волчок Лагранжа
Сообщение10.11.2017, 23:38 


31/08/17
209
со знаком тоже все в порядке, в моей формуле должно быть $\boldsymbol e_1= [\boldsymbol  e_2,\boldsymbol e_3]$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group