2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сколько гиперплоскостей замыкают область?
Сообщение09.10.2017, 17:53 


12/07/15
2907
г. Чехов
Имеется $k$-мерное пространство. Сколько минимум нужно построить плоскостей, чтобы "окружить" некоторую компактную область точек?

Для двухмерного пространства ($k=2$) нужно провести три прямые (треугольник).
Для трехмерного пространства ($k=3$) нужно построить четыре плоскости (тетраэдр).
Для k-мерного пространства в общем случае?

Дополнительный вопрос: какими свойствами должны обладать гиперплоскости, чтобы именно их минимальное количество замыкало хоть какую-либо область? Как это отражается на их уравнении?
Если в случае двумерного пространства взять хотя бы две параллельные прямые, то тремя прямыми область замкнуть не удастся. Аналогично с параллельными плоскостями в трехмерном пространстве. То есть напрашивается общий вывод: гиперплоскости не должны быть параллельны, угол между гиперплоскостями не должен быть равен нулю. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько гиперплоскостей замыкают область?
Сообщение09.10.2017, 18:07 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Mihaylo в сообщении #1254271 писал(а):
компактную область точек
Может, лучше просто ограниченную?

Mihaylo в сообщении #1254271 писал(а):
Для k-мерного пространства в общем случае?
Ну вот ваши треугольник и тетраэдр намекают кое-что.

Mihaylo в сообщении #1254271 писал(а):
То есть напрашивается общий вывод: гиперплоскости не должны быть параллельны, угол между гиперплоскостями не должен быть равен нулю. Так?
Угол между гиперплоскостями определён только в евклидовых пространствах, а параллельность уже в аффинных, так что углов не нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько гиперплоскостей замыкают область?
Сообщение09.10.2017, 18:18 


12/07/15
2907
г. Чехов
Пусть будет ограниченная область. :-)

Неужели ответ $k+1$?

В интернете загуглился "угол между гиперплоскостями".

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько гиперплоскостей замыкают область?
Сообщение09.10.2017, 18:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Mihaylo в сообщении #1254271 писал(а):
Для k-мерного пространства в общем случае?
Догадайтесь. $2\to 3$, $3\to 4$,…, $k\to?$

Mihaylo в сообщении #1254271 писал(а):
Дополнительный вопрос: какими свойствами должны обладать гиперплоскости, чтобы именно их минимальное количество замыкало хоть какую-либо область? Как это отражается на их уравнении?
Часть пространства, ограниченная гиперплоскостью, задаётся линейным неравенством. Ограниченная несколькими гиперплоскостями — системой линейных неравенств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько гиперплоскостей замыкают область?
Сообщение09.10.2017, 18:22 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Mihaylo в сообщении #1254277 писал(а):
В интернете загуглился "угол между гиперплоскостями".
Я не говорил, что это несуществующее понятие. Но для вашего вопроса достаточно (вещественного) аффинного пространства. Ограниченность и параллельность там есть, а углов нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько гиперплоскостей замыкают область?
Сообщение09.10.2017, 18:25 


12/07/15
2907
г. Чехов
Someone в сообщении #1254278 писал(а):
Часть пространства, ограниченная гиперплоскостью, задаётся линейным неравенством. Ограниченная несколькими гиперплоскостями — системой линейных неравенств.

А, намек понял. Все по линейной алгебре.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group