2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 неравенство
Сообщение05.10.2017, 07:50 
Аватара пользователя


21/06/08
476
Томск
Дано $a, b, c >0$ и $a+b+c=1$. Доказать, что $\sum \frac{11a^3-2b^3}{a(2a+b)} \leq 3$

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство
Сообщение05.10.2017, 16:27 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
$$3-\sum_{cyc}\frac{11a^3-2b^3}{a(2a+b)}=\sum_{cyc}\left(3a-\frac{11a^3-2b^3}{a(2a+b)}\right)=$$
$$=\sum_{cyc}\left(-\frac{(a-b)(5a^2+5ab+2b^2)}{a(2a+b)}\right)=\sum_{cyc}\left(4(a-b)-\frac{(a-b)(5a^2+5ab+2b^2)}{a(2a+b)}\right)=$$
$$=\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2(3a+2b)}{a(2a+b)}\geq0.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство
Сообщение05.10.2017, 18:01 
Аватара пользователя


21/06/08
476
Томск
3-й шаг не очень понятен.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство
Сообщение05.10.2017, 18:34 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Я добавил что-то. Посмотрите сейчас.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство
Сообщение05.10.2017, 19:38 


30/03/08
196
St.Peterburg
daogiauvang в сообщении #1253241 писал(а):
Дано $a, b, c >0$ и $a+b+c=1$. Доказать, что $\sum \frac{11a^3-2b^3}{a(2a+b)} \leq 3$


$$F(x,y)=\dfrac{11x^3-2y^3}{x(2x+y)} \le 1+6\left(x-\dfrac{1}{3}\right)-3\left( y-\dfrac{1}{3}\right) \Leftrightarrow \dfrac{(x+2y)(x-y)^2}{x(2x+y)}\ge 0$$

$$F(a,b)+F(b,c)+F(c,a)\le 3$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group