2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 шар и 5 точек
Сообщение24.09.2017, 03:29 
Аватара пользователя


21/06/08
476
Томск
Дано шар и в нем 5 точек. Доказать, что существует плоскость, проходящая через центр шара, которая делит шар на 2 части, чтобы в одной части более 4 точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: шар и 5 точек
Сообщение24.09.2017, 04:09 
Заслуженный участник


20/08/14
11062
Россия, Москва
daogiauvang в сообщении #1250170 писал(а):
более 4 точек
Т.е. ровно все 5? Это очевидно неверно: впишем в шар квадратную пирамиду с высотой больше радиуса шара, центр шара будет внутри неё, а значит любая плоскость рассечёт пирамиду на части, т.е. минимум одна точка окажется по другую сторону плоскости от остальных.
А со вписанным октаэдром не получится отсечь даже и одну точку, непременно будет не менее 2.
Предполагаем что плоскость через точки проходить не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: шар и 5 точек
Сообщение24.09.2017, 04:38 
Аватара пользователя


21/06/08
476
Томск
Я неправильно написал условия. Не менее 4 точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: шар и 5 точек
Сообщение24.09.2017, 05:51 
Заслуженный участник


20/08/14
11062
Россия, Москва
Вписанный октаэдр. Такой плоскости вроде бы нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: шар и 5 точек
Сообщение24.09.2017, 09:17 


14/01/11
2916
Dmitriy40, что-то у меня не хватило пальцев на руке, чтобы счесть вершины октаэдра. :-)
Или вы имели в виду треугольную бипирамиду?

 Профиль  
                  
 
 Re: шар и 5 точек
Сообщение24.09.2017, 10:46 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Пусть центр имеет координаты (0,0,...,0) (шар любой размерности). Точки имеют попарно противоположной размерности.
Тогда для любого линейного функционала от координат, определяющегося с какой стороны точки, знаки будут противоположны.
Стало быть они лежат в разных сторонах. Поэтому с одной стороны могут быть не более n-[n/2] точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: шар и 5 точек
Сообщение24.09.2017, 22:11 
Заслуженный участник


20/08/14
11062
Россия, Москва
Sender в сообщении #1250190 писал(а):
Или вы имели в виду треугольную бипирамиду?
Да, именно её. Ну запутался чуток в названиях. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: шар и 5 точек
Сообщение25.09.2017, 16:57 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Если под "в одной части" понимать ЗАМКНУТОЕ полупространство, то - верно:
проведем через пару точек и центр плоскость; в одном из полупространств не менее двух точек - что и надо.
Также верно и для 5 точек "общего положения": та же конструкция плюс "пошевелим"....

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group