2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Чёртово колесо
Сообщение24.09.2017, 10:11 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
В чёртовом колесе чёрт заставил кабинки оставаться постоянно в вертикальном положении.
Какова допустимая угловая скорость вращения колеса $\omega$, при которой ещё не будет выпадений тел,
если радиус колеса $R$, а коэффициент трения $k$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чёртово колесо
Сообщение24.09.2017, 10:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
dovlato в сообщении #1250199 писал(а):
коэффициент трения

Что по чему трётся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чёртово колесо
Сообщение24.09.2017, 11:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Какой-такой коэффициент трения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чёртово колесо
Сообщение24.09.2017, 12:46 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Значит, тело находится на горизонтальном полу кабины. Повторю - пол по условию задачи всё время остаётся горизонтальным.
А сама кабина совершает поступательное движение, описывая вместе с колесом окружность (все точки кабины описывают, ес-нно, одинаковые окружности).
Ежли колесо раскрутить слишком сильно, то тело, стоящее на полу, начнёт скользить. Вопрос - при какой омеге это скольжение начнётся.
Признаюсь, задача даже и не моя. Она - в числе олимпиадных задач, в одной школьной олимпиаде (она вывешена в Вашем Репетиторе).
И оценена авторами тем же числом баллов, что и остальные. Тогда как, на мой взгляд, она от них отличается тем, что не вполне тривиальна.
Возможно, авторы этого просто не заметили. Кстати, там же есть и ещё задача, по поводу которой у нас там произошло что-то вроде дискуссии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чёртово колесо
Сообщение24.09.2017, 12:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В нормальных кабинах, даже если тело скользит по полу, оно не выпадет, потому что в кабине есть стенки.

Вам стоило бы написать условия внятнее и с самого начала. Возможно, с рисунком.

-- 24.09.2017 12:54:41 --

dovlato в сообщении #1250247 писал(а):
Тогда как, на мой взгляд, она от них отличается тем, что не вполне тривиальна.

А по-моему, вполне тривиальна. И допускает ваше любимое геометрическое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чёртово колесо
Сообщение24.09.2017, 13:13 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Что-то я никак не соображу, что же в этой задаче нетривиального.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чёртово колесо
Сообщение24.09.2017, 13:33 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Ну может быть и тривиальна. Кстати, если колесо положить плашмя - по сути, сделать карусель - то ответ уже другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чёртово колесо
Сообщение24.09.2017, 13:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чёртово колесо
Сообщение24.09.2017, 14:04 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Ну да, для Munin. Не уверен, что и для тамошних авторов тоже. А уж для многих преподавателей физики, уверяю вас - тем более.
Там была ещё задача, в некорректности которой я уверен.
"В вертикальном теплоизолированном цилиндре под тяжёлым
подвижным поршнем находится одноатомный идеальный газ,
занимающий объём V. На поршень ставят груз, имеющий массу
вдвое большую, чем масса поршня. Найдите объём газа в новом
положении равновесия. Давлением над поршнем и трением поршня
о стенки цилиндра можно пренебречь."
Некорректность, на мой взгляд - в том, что ничего не сказано, как именно ставят дополнительный груз.
Если его "придерживают рукой", то ответ будет один. А если его просто отпустить, предоставив падать вместе с поршнем - то другой.
Причём во втором случае, я думаю, будут незатухающие колебания. Со мной там не согласились.
Было даже такое мнение, что "энтропия газа будет постоянно расти".

 Профиль  
                  
 
 Re: Чёртово колесо
Сообщение24.09.2017, 14:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
dovlato в сообщении #1250271 писал(а):
Ну да, для Munin. Не уверен, что и для тамошних авторов тоже. А уж для многих преподавателей физики, уверяю вас - тем более.

Ну уж, для школьных олимпиад это гоже максимум для 8 класса.

В чём лично вы видите трудности в этой задаче? Раз уж вы сочли её неочевидной.

-- 24.09.2017 14:21:17 --

dovlato в сообщении #1250271 писал(а):
Если его "придерживают рукой", то ответ будет один. А если его просто отпустить, предоставив падать вместе с поршнем - то другой.
Причём во втором случае, я думаю, будут незатухающие колебания.

А в задаче сказано "в новом положении равновесия". Это нивелирует ваши замечания. (Колебания всё-таки затухнут, и это произойдёт быстрее, чем охлаждение газа, в этом смысле задача корректная и как раз очень физическая.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Чёртово колесо
Сообщение24.09.2017, 14:24 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Munin в сообщении #1250276 писал(а):
dovlato в сообщении #1250271 писал(а):
Ну да, для Munin. Не уверен, что и для тамошних авторов тоже. А уж для многих преподавателей физики, уверяю вас - тем более.

Ну уж, для школьных олимпиад это гоже максимум для 8 класса.

В чём лично вы видите трудности в этой задаче? Раз уж вы сочли её неочевидной.

Мой ответ $\omega^2=\frac{g}R\frac{k}{\sqrt{1+k^2}}$

-- Вс сен 24, 2017 15:26:36 --

А за счёт чего будет "охлаждение газа"?? Если ставить груз, придерживая рукой, то энергия системы "груз+поршень+газ" падает.
Если отпустить свободно - она останется постоянной. Вот это уж действительно очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чёртово колесо
Сообщение24.09.2017, 14:31 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
dovlato в сообщении #1250257 писал(а):
Кстати, если колесо положить плашмя - по сути, сделать карусель - то ответ уже другой.
Во, вот что значит в этой задаче нетривиального — надо догадаться, что за конструкция подразумевается под "чёртовым колесом". Я-то как раз представил себе горизонтальную конструкцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чёртово колесо
Сообщение24.09.2017, 15:09 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
И я не вижу, за счёт чего колебания (в идеальной модели) могли бы прекратиться.
А положение равновесия (которое поршень проходил бы по инерции) было бы в ней выше того, которое получалось бы при мягком медленном опускании груза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чёртово колесо
Сообщение25.09.2017, 13:55 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Я как будто понял, каким образом задача может быть решена в рамках школьной математики.
Пусть начальная масса поршня была $m$; затем, вместе с поставленным грузом, она становится равной $\alpha m$, где $\alpha$ - заданное число. Груз аккуратно ставится на поршень – и тут же отпускается, так что далее движение поршня с грузом происходит свободно.
Возникают колебания. Несмотря на идеальную теплоизоляцию, через достаточно продолжительное время эти колебания не сохранят свой первоначальный вид. Дело в том, что в термодинамической системе (груз и поршень+газ) движение поршня есть всего лишь одна из $3N+1$ степеней свободы, где $N$ - число атомов газа. Когда система наконец придёт в термодинамическое равновесие, на эту степень свободы, так же как и на любую другую, останется энергия $\frac32 kT$ , то есть она практически исчезнет.
Таким образом, вся энергия первоначальных колебаний перейдёт в тепловую энергию газа. Он нагреется. Отсюда, в частности, становится ясно, что если бы груз ставился замедленно, так, чтобы избежать колебаний поршня – то, поскольку энергия системы была бы меньшей, газ имел бы более низкую равновесную температуру, а следовательно, положение равновесия поршня было бы ниже.
Возвращаемся к первому варианту. Допустим, первоначальная высота нижней грани поршня была равна $h_0$, а установившаяся равновесная $h$ . Запишем уравнение энергетического баланса$$\apha mg(h_0-h)=\frac32(pV-p_0V_0)$$ где $V_0$ - начальный объём газа. Очевидно, что$$h/h_0=V/V_0=\beta$$ где $\beta$ следует определить. Так как $p=\alpha p_0$, то после подстановки получаем$$\beta=\frac15 \left(2+\frac3{\alpha}\right)$$ Всё бы ничего, но озадачивает то, что при как угодно большом $\alpha$, то есть большом грузе - получается, что конечный объём почему-то будет составлять не меньше 2/5 от начального значения. Я этого не могу объяснить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чёртово колесо
Сообщение26.09.2017, 12:15 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Если задача для школьников, то авторы, скорее всего, имеют в виду второй случай: т.е. груз ставят и отпускают, и после этого энергия колебаний переходит во внутреннюю энергию газа. Чтобы перевести энергию колебаний в тепло можно, например, поместить внутри поршня небольшой резиновый шарик, не абсолютно упругий (но это , правда, равносильно введению силы трения).

В первом же случае (когда дополнительный груз придерживают), задача решается с помощью уравнения адиабаты, которое школьники знать не обязаны.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group