2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство
Сообщение18.09.2017, 16:49 
Аватара пользователя


21/06/08
476
Томск
Дано неотрицательные числа $a, b$, чтобы $\frac{5a}{a+1}+\frac{2b}{b+1} \leq 1$.
Доказать, что $a^5b^2 \leq \frac{1}{6^7}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение18.09.2017, 17:55 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
$b\le \frac{1-4a}{1+6a}\Rightarrow a^5b^2\le a^5(\frac{1-4a}{1+6a})^2$, максимум при $a=\frac{1}{6}$ и тогда также $b=\frac1{6}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение18.09.2017, 21:25 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
By AM-GM
$$1\geq6ab+4a+b\geq6\sqrt[6]{6ab\cdot a^4\cdot b}=6\sqrt[6]{6a^5b^2}$$ and we are done!

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение19.09.2017, 10:06 
Аватара пользователя


21/06/08
476
Томск
Новое неравенство: дано $a_1, a_2, \cdots, a_n \geq 0$, чтобы $\sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{1+a_i} \leq 1$.
Доказать, что $\prod_{i=1}^{n} a_i \leq \frac{1}{(n-1)^n}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение19.09.2017, 10:35 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Because by AM-GM
$$\frac{1}{1+a_i}\geq\sum_{k\neq i}\frac{a_k}{1+a_k}\geq(n-1)\sqrt[n-1]{\frac{\prod\limits_{k\neq i}a_k}{\prod\limits_{k\neq i}(1+a_k)}}$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group