2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Деревья в теории множеств
Сообщение29.08.2017, 10:36 
Аватара пользователя


17/04/11
236
Теорема Кнастера — Тарского нужна для индуктивных определений. Пример. Если засунуть в неё функцию \(\{\langle\{\}, \{0\}\rangle\} \cup \{\langle\{n\}, \{n+2\}\rangle|n\in\mathbb{N} \} \), то она докажет существование множества всех чётных натуральных чисел.

Я правильно понимаю, что с помощью этой теоремы нельзя доказать существование \(\mathbb{N}\)? (Разумеется, при условии, что аксиома о существовании \(\mathbb{N}\) удалена из теории множеств.) Как в теории множеств доказать, что существует множество всех Лисп-деревьев? (Лисп-дерево сконструировано из пар и элементов \(\mathbb{N}\).) Как доказать существование произвольного рекурсивного типа данных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Деревья в теории множеств
Сообщение29.08.2017, 11:35 


31/12/15
203
В теории множеств есть аксиома бесконечности. Допустим, есть множество $A$, взаимно однозначно отобразимое на собственную часть. Это значит, есть функция $s\colon A\to A$ со свойством
$\forall a_1,a_2\in A(s(a_1)=s(a_2)\Rightarrow a_1=a_2)$
и элемент $0$, в который ничего не переходит
$\forall a\in A\neg(s(a)=0)$
Берём функцию $f\colon P(A)\to P(A)$, которая к любому подмножеству $B\subseteq A$ добавляет $0$ и $s[B]$
$f(B)=B\cup\{0\}\cup s[B]$
Наименьшая неподвижная точка этой функции будет множеством натуральных чисел. Без аксиомы бесконечности, конечно, ничего сделать нельзя. Множество деревьев можно строить аналогично: надо сначала найти множество, содержащее все натуральные числа и замкнутое относительно образования пары, а затем выделить из него наименьшее подмножество с такими свойствами. Но, если уже есть натуральные числа, можно проще. Полагаем
$A_0=\mathfrac{N}$
$A_1=A_0\cup (A_0\times A_0)$
$A_2=A_1\cup (A_1\times A_1)$
и так далее
$A=\cup_{i\in\mathfrac{N}}A_i$

 Профиль  
                  
 
 Re: Деревья в теории множеств
Сообщение01.09.2017, 14:28 
Аватара пользователя


17/04/11
236
Спасибо за ответ. Меня интересует, как это сделано, исходя из официальных аксиом теории множеств. Всё-таки теория множеств претендует на звание фундамента математики. Я не помню, чтобы ради деревьев вводили какие-то специальные аксиомы.

Официальная аксиома: \(\exists I(\emptyset\in I \land \forall x\in I(x\cup\{x\}\in I))\).
george66 в сообщении #1243792 писал(а):
Множество деревьев можно строить аналогично: надо сначала найти множество, содержащее все натуральные числа и замкнутое относительно образования пары

Так вот откуда его взять? Неужели оно есть подмножество \(\mathbb{N}\)? Каждое Лисп-дерево есть натуральное число?

 Профиль  
                  
 
 Re: Деревья в теории множеств
Сообщение01.09.2017, 15:06 


31/12/15
203
Тут надо хитрить, теория множеств для таких вещей плохо приспособлена. Например, множество наследственно конечных множеств содержит все натуральные числа и замкнуто относительно образования пары.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деревья в теории множеств
Сообщение01.09.2017, 15:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21068
Уфа
beroal в сообщении #1243781 писал(а):
Как доказать существование произвольного рекурсивного типа данных?
Наверно, в теории типов, а не в теории множеств? И в некоторых теориях типов индуктивные типы вводятся определениями, и никто не жалуется.

george66 в сообщении #1244296 писал(а):
Тут надо хитрить, теория множеств для таких вещей плохо приспособлена.
По-моему, для определения произвольных индуктивных множеств всё давно придумано. Правда, прямо сейчас не вспомню последовательность действий.

-- Пт сен 01, 2017 17:45:33 --

Нужно всего-то показать, что для всех разумных $s, z$ объединение $C[z, s] = \bigcup_{n\in N} A_n$ существует, где $A_0 = z$, $A_{n+1} = s(A_0)$. Вот как теоретико-множественными средствами $\mathbb N$ выделяется как наименьшее множество, удовлетворяющее аксиоме бесконечности, примерно так же можно будет определить и $C[z, s]$.

-- Пт сен 01, 2017 17:52:48 --

Куратовский, Мостовский. Теория множеств, гл. III §2 Определения по индукции; теорема 1.

-- Пт сен 01, 2017 18:21:46 --

arseniiv в сообщении #1244304 писал(а):
Нужно всего-то показать, что для всех разумных $s, z$ объединение $C[z, s] = \bigcup_{n\in N} A_n$ существует, где $A_0 = z$, $A_{n+1} = s(A_0)$.
Дополню, если вдруг непонятно, как это связано с деревьями. Определим алфавит $\Sigma = \mathbb N\cup\{\mathsf{nil},\mathsf{cons}\}$, где двухэлементное множество $\{\mathsf{nil},\mathsf{cons}\}\not\subset\mathbb N$ (у нас уже должно существовать полно всякого). Существование $\Sigma^* = \bigcup_{n\in N}\Sigma^n$ тоже должно легко доказываться. Определим теперь конструкторы как операции на этом $\Sigma^*$: $\mathrm{nil}() = (\mathsf{nil})$, $\mathrm{cons}(t_1, t_2) = \mathrm{concat}((\mathsf{cons}),t_1,t_2)$, где $\mathrm{concat}\colon (\Sigma^*)^*\to \Sigma^*$ — функция сцепки последовательностей (в принципе, достаточно и бинарной, применённой два раза). Теперь у нас есть деревья, но у нас есть и куча мусора. Сейчас выделим только деревья.

Возьмём $A_0 = \varnothing$ и $A_{n+1} = \{\mathrm{nil}(a) : a\in A_n^0\}\cup\{\mathrm{cons}(a) : a\in A_n^2\}$. $A' = \bigcup_{n\in N} A_n$ — это наше множество деревьев, являющееся подмножеством $\Sigma^*$, про что можно смело забыть. Можно доказать, что ограничения $\mathrm{nil}$ и $\mathrm{cons}$ на $A'$ имеют и образом подмножество $A'$, так что вот нам конструкторы. Структурную индукцию тоже можно доказать, воспользовавшись, например, функцией глубины терма (высоты дерева) и сведя к обычной натуральночисленной, которая уже должна быть доказана.

Пришлось выдумывать $\Sigma^*$, чтобы определить «протоконструкторы», использованные для индуктивного определения $A'$, да. Можно ли определить всё без этого, не в курсе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деревья в теории множеств
Сообщение01.09.2017, 16:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21068
Уфа
Кстати, я читал тему-читал, а когда стал писать, забыл. Вместо $\mathsf{nil}$ должны быть всевозможные натуральные числа и т. д..

Ещё одно дополнение: можно спросить, зачем было городить огород с $\Sigma^*$, если george66 уже предложил кандидат на такое множество, из которого можно выделить множество деревьев. Ответ в том, что аналогичное построение легко сделать для произвольного множества конструкторов без угадывания подходящего множества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деревья в теории множеств
Сообщение10.09.2017, 19:11 
Аватара пользователя


17/04/11
236
(Извиняюсь, что долго не отвечал. Ну, математика срочной не бывает. :-) )

beroal в сообщении #1244285 писал(а):
Каждое Лисп-дерево есть натуральное число?

Это я сказал, не подумав. Каждое натуральное число по фон Нейману содержит пустое множество. Все элементы каждой пары по Куратовскому населены. Так что эти понятия не совместимы.

george66 в сообщении #1244296 писал(а):
Тут надо хитрить, теория множеств для таких вещей плохо приспособлена. Например, множество наследственно конечных множеств содержит все натуральные числа и замкнуто относительно образования пары.

Можно уточнить, что такое «наследственно конечные множества»? Гугл не выдаёт ничего толкового. Наверное, есть другое название?

arseniiv в сообщении #1244304 писал(а):
Наверно, в теории типов, а не в теории множеств?

Именно в теории множеств.

arseniiv в сообщении #1244304 писал(а):
По-моему, для определения произвольных индуктивных множеств всё давно придумано.

Всё придумано для определения произвольных индуктивных подмножеств. Теорема Кнастера-Тарского. Индуктивное определение задаёт подмножество какого-то множества $X$. $X$ надо определить ранее. Да, если есть множество деревьев любого типа, из них можно выделять списки, кодировать деревья других типов…

arseniiv в сообщении #1244333 писал(а):
george66 уже предложил кандидат на такое множество

Не очень формальное определение. Чтобы определить $A_i$, нужна рекурсивная функция на множестве всех множеств?

 Профиль  
                  
 
 Re: Деревья в теории множеств
Сообщение10.09.2017, 20:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21068
Уфа
beroal в сообщении #1246764 писал(а):
Это я сказал, не подумав. Каждое натуральное число по фон Нейману содержит пустое множество. Все элементы каждой пары по Куратовскому населены. Так что эти понятия не совместимы.
Если вы о путанице, является ли множество натуральным числом или парой, то её в таком случае быть не должно: если $s$ — натуральное, то $\exists p.\, s = p\cup\{p\}$ и $p$ натуральное, а если $s$ — пара, то $\exists a,b.\; s = \{\{a\},\{a,b\}\}$. Значит, если оно и то, и то, оно есть $1 = \{\varnothing\}$ или $2 = \{\varnothing,\{\varnothing\}\}$ и не является парой.

beroal в сообщении #1246764 писал(а):
Можно уточнить, что такое «наследственно конечные множества»? Гугл не выдаёт ничего толкового. Наверное, есть другое название?
Hereditarily finite set.

beroal в сообщении #1246764 писал(а):
Не очень формальное определение. Чтобы определить $A_i$, нужна рекурсивная функция на множестве всех множеств?
Хм, ну раз все наследственно конечные множества составляют множество (счётное), то как-то выделить его в ZFC должно быть можно. Что-то мне не приходит в голову только. Однако это должно быть просто.

beroal в сообщении #1246764 писал(а):
Индуктивное определение задаёт подмножество какого-то множества $X$. $X$ надо определить ранее. Да, если есть множество деревьев любого типа, из них можно выделять списки, кодировать деревья других типов…
В общем, на любой не обобщённый алгебраический тип данных должно хватить, если все его потенциальные аргументы уже представлены. На обобщённый — не думал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деревья в теории множеств
Сообщение10.09.2017, 20:27 


31/12/15
203
Наследственно конечные множества - это множества, которые сами конечны, их элементы конечны, элементы элементов конечны и т.д. Это наименьшее семейство множеств, содержащее $\emptyset$ и замкнутое относительно операции добавления элемента, которая по множествам $X,Y$ выдаёт $X\cup\{Y\}$
Подробно про них написано в книге Коэн "Континуум-гипотеза" (вводные главы)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group