2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 И снова ни одного простого числа (из далёкого 2001г)
Сообщение09.09.2017, 16:12 
Аватара пользователя


01/12/11
5911
С натуральным числом проделываем следующую операцию: его последнюю цифру отделяем, умножаем на 7 и прибавляем к оставшемуся числу (скажем, из 2017 получаем 250). С полученным числом проделываем то же самое, и так далее. Докажите, что если в полученной последовательности встретилось число 2001, то в ней нет ни одного простого числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: И снова ни одного простого числа (из далёкого 2001г)
Сообщение09.09.2017, 17:38 


20/08/14
3314
Россия, Москва
Прямой ход: $2001 \to 207 \to 69 \to 69 \to \ldots$ - все составные.
Обратный ход: $x \to 10x-69k, k=[0\ldots9]$, если исходное $x$ делится на $3$, то и предыдущее будет делиться на три при любой младшей цифре. А $2001$ на $3$ делится - значит и все возможные предыдущие числа тоже делятся на 3 - т.е. составные.
Получается кроме $2001$ таким же свойством обладает и любое кратное трём число.
Кроме $7$ можно умножать и на $(1,4,7,10)$ или $3n-2, n \in\mathbb{N}$ с сохранением тех же свойств.

 Профиль  
                  
 
 Re: И снова ни одного простого числа (из далёкого 2001г)
Сообщение09.09.2017, 18:02 
Аватара пользователя


01/12/11
5911
Dmitriy40
Соображения делимости на 3 как раз ускользнули от моего внимания, к сожалению.
Поэтому решение у меня получилось немножко извращённое.
Моё решение такое: если в последовательности есть 2001, то каждое число в ней делится на 23. Самого же числа 23 там не будет, это несложно доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: И снова ни одного простого числа (из далёкого 2001г)
Сообщение09.09.2017, 18:22 


20/08/14
3314
Россия, Москва
Вообще интересная последовательность, она быстро вырождается или в константу $(23,46,69)$, или в периодическую с периодом $22$ (все члены в периоде меньше $69$ и с одинаковым остатком от деления на $3$).

Ktina в сообщении #1246468 писал(а):
Моё решение такое: если в последовательности есть 2001, то каждое число в ней делится на 23.
Учитывая что $69=3\cdot23$, моё решение эквивалентно Вашему.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group