2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 1 2 8 9 12 24 36 132 612 ... конечно или бесконечно?
Сообщение03.09.2017, 10:04 
Аватара пользователя


01/12/11
5909
1 2 8 9 12 24 36 132 612 ... конечно или бесконечно?

Рассмотрим последовательность 1 2 8 9 12 24 36 132 612 ...
Это натуральные числа, которые делятся на количество своих делителей, на сумму своих цифр и на произведение своих цифр.
Разумеется, ни один из членов последовательности не содержит цифру 0, так как на 0 делить нельзя.
Как узнать, конечно или бесконечно множество таких чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: 1 2 8 9 12 24 36 132 612 ... конечно или бесконечно?
Сообщение03.09.2017, 14:08 


20/08/14
3306
Россия, Москва
Думаю бесконечно. Т.к. количество
$10^0\ldots10^1-1=4,$
$10^1\ldots10^2-1=3,$
$10^2\ldots10^3-1=2,$
$10^3\ldots10^4-1=10,$
$10^4\ldots10^5-1=23,$
$10^5\ldots10^6-1=58,$
$10^6\ldots10^7-1=167,$
$10^7\ldots10^8-1=414,$
$10^8\ldots10^9-1=1064.$
Видно что количество членов последовательности с возрастанием чисел не падает, как могло показаться для первых 9 указанных Вами.

 Профиль  
                  
 
 Re: 1 2 8 9 12 24 36 132 612 ... конечно или бесконечно?
Сообщение03.09.2017, 14:19 
Аватара пользователя


01/12/11
5909
Dmitriy40
А как Вы сосчитали это количество?

 Профиль  
                  
 
 Re: 1 2 8 9 12 24 36 132 612 ... конечно или бесконечно?
Сообщение03.09.2017, 14:36 


20/08/14
3306
Россия, Москва
Ktina в сообщении #1244798 писал(а):
А как Вы сосчитали это количество?
Не аналитически разумеется. :mrgreen:
Написал программу на PARI/GP
Код:
for(i=1,999999999,if(i%sumdigits(i)==0,d=digits(i);p=prod(k=1,#d,d[k]);if(p>0&&i%p==0&&i%matsize(divisors(i))[2]==0,print1(i,","))))
запустил до миллиарда с выводом чисел в файл, а в нём уже подсчитал количество чисел. Ушло меньше 15 минут на всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: 1 2 8 9 12 24 36 132 612 ... конечно или бесконечно?
Сообщение03.09.2017, 14:43 
Аватара пользователя


01/12/11
5909
Dmitriy40
Простите за наглость, а можно список из первых 100 членов в студию?

 Профиль  
                  
 
 Re: 1 2 8 9 12 24 36 132 612 ... конечно или бесконечно?
Сообщение03.09.2017, 14:49 


20/08/14
3306
Россия, Москва
Ktina в сообщении #1244810 писал(а):
Простите за наглость, а можно список из первых 100 членов в студию?
Да без проблем, причём тут наглость:
Используется синтаксис Text
1,2,8,9,

12,24,36,

132,612,

1116,1212,1332,1344,2232,3168,3276,4224,6624,6912,

11232,11424,12132,12768,13212,16416,18432,18816,21132,21216,22176,24192,31212,34272,41112,42336,42624,42912,61344,61824,62112,71316,86112,

112116,112224,113112,113184,114912,116172,121112,121116,123264,123732,126432,131328,132192,134112,136224,141312,162432,163296,172116,183168,196128,
214144,231264,232416,237132,241632,261216,266112,272832,291168,311328,342144,373212,381312,
411192,411264,411648,411712,419112,421632,422112,431136,438912,441216,442176,613332,621216,622272,647136,698112,
713664,714112,719712,724416,741216,842112,964224,973728,
Забавно что до миллиона как раз ровно 100 членов. :-)

Да, кстати, эта последовательность является пересечением например вот этих двух: A038186 (отсюда и почти весь код взял) и A057529.

 Профиль  
                  
 
 Re: 1 2 8 9 12 24 36 132 612 ... конечно или бесконечно?
Сообщение03.09.2017, 14:55 
Аватара пользователя


01/12/11
5909
Dmitriy40

(Оффтоп)

Ой, красотень-то какая!
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: 1 2 8 9 12 24 36 132 612 ... конечно или бесконечно?
Сообщение03.09.2017, 15:06 


20/08/14
3306
Россия, Москва
Странно, только заметил, цифра $5$ в числах не встречается ни разу. Впрочем как и нечётные младшие цифры (за исключением первых 4-х членов). Интересно почему ... Наверное здесь и можно подвести теорию (делимости) ...

-- 03.09.2017, 15:20 --

А, не, с нечётными всё понятно (количество делителей всегда чётно и потому нечётные вылетают). Вот с 5 чуть посложнее, для делимости на 5 (а она будет в произведении цифр) надо младшую 0 или 5, а оба этих варианта недопустимы. Красиво.

-- 03.09.2017, 15:23 --

Dmitriy40 в сообщении #1244820 писал(а):
количество делителей всегда чётно
Тормознул, квадраты (и степени) нечётных чисел не учёл, как с ними быть не знаю пока.

 Профиль  
                  
 
 Re: 1 2 8 9 12 24 36 132 612 ... конечно или бесконечно?
Сообщение03.09.2017, 15:54 
Аватара пользователя


01/12/11
5909
Dmitriy40 в сообщении #1244820 писал(а):
Странно, только заметил, цифра $5$ в числах не встречается ни разу.
...

Если в числе есть 5 и какая-нибудь чётная цифра, то произведение цифр оканчивается нулём, а на нуль делить партия не велит.

 Профиль  
                  
 
 Re: 1 2 8 9 12 24 36 132 612 ... конечно или бесконечно?
Сообщение03.09.2017, 20:06 


20/08/14
3306
Россия, Москва
Ну всё равно остаётся вариант из произведений степеней нечётных чисел и 5 в степени. Таких пока нету, но доказательство всё же не полное.
Кстати, посчитал всё же и следующий диапазон: $10^9\ldots10^{10}-1=2694$. Считалось больше часа. Дальше уже запускать не буду, столько времени жаль.

 Профиль  
                  
 
 Re: 1 2 8 9 12 24 36 132 612 ... конечно или бесконечно?
Сообщение03.09.2017, 20:13 
Аватара пользователя


11/06/12
7649
Минск
Dmitriy40 в сообщении #1244882 писал(а):
Дальше уже запускать не буду, столько времени жаль.
А что, PARI/GP в данном случае жрёт все ресурсы и не даёт работать с чем-то ещё?

 Профиль  
                  
 
 Re: 1 2 8 9 12 24 36 132 612 ... конечно или бесконечно?
Сообщение03.09.2017, 20:29 


20/08/14
3306
Россия, Москва
Aritaborian в сообщении #1244884 писал(а):
А что, PARI/GP в данном случае жрёт все ресурсы и не даёт работать с чем-то ещё?
Ну как, процессор ведь загружает, на 100% (правда кажется лишь в одном потоке, да и idle приоритет ещё не запретили). Но есть что считать и без него, а эта задача интересна менее остальных. И если часа счёта ещё не жаль, то более 10 часов счёта ... лучше пущу на другое. Программа выше выложена, желающие могут сами запустить и считать. Если кому будет ну очень надо, подправлю чтобы выводила сразу количество в диапазонах, а не все найденные числа, это не сильно сложно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group