2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Делимость целых чиссел
Сообщение01.09.2017, 16:23 
Аватара пользователя


26/11/14
754
Всех с днем знаний! Помогите с задачей: как доказать, что число: $ \overline{ab}\cdot \overline{cd}$, где: $\overline{ab} , \, \overline{cd}$ - двузначные числа, дающие в произведении 4-х значное не делится на $11$ (сами эти числа на $11 $ не делятся). Если представить это произведение ив явном виде: $ \overline{ab}\cdot \overline{cd} = (10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd$, то про сумму ничего сказать нельзя, хотя очевидно первое и третье слагаемые на $11$ не делятся, т.к. $bd,ac \ne \left\lbrace 0,11,22,33,44,55,66,77,88,99 \right\rbrace$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость целых чиссел
Сообщение01.09.2017, 16:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Stensen
Предполагается, что единственность разложения числа на простые нам не известна, правильно? А что известно? может какой-то из признаков делимости на 11 уже проходили?

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость целых чиссел
Сообщение01.09.2017, 16:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
То есть, надо доказать, что произведение чисел, которые не делятся на 11, не делится на 11?
Попробуйте воспользоваться однозначностью разложения числа на простые сомножители. Ну и простотой числа 11.

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость целых чиссел
Сообщение01.09.2017, 17:23 
Аватара пользователя


26/11/14
754
gris в сообщении #1244340 писал(а):
То есть, надо доказать, что произведение чисел, которые не делятся на 11, не делится на 11?
Попробуйте воспользоваться однозначностью разложения числа на простые сомножители. Ну и простотой числа 11.
Похоже понял. Т.к. $ \overline{ab}  , \, \overline{cd}$ не делятся на $11$, т.е в их каноническом разложении нет $11$, то и в их произведении также $11$ не будет, т.к. $11$ - простое, а каноническое разложение единственно. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость целых чиссел
Сообщение01.09.2017, 18:08 


03/10/06
826
Stensen в сообщении #1244328 писал(а):
$ \overline{ab}\cdot \overline{cd} = (10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd$, то про сумму ничего сказать нельзя, хотя очевидно первое и третье слагаемые на $11$ не делятся, т.к. $bd,ac \ne \left\lbrace 0,11,22,33,44,55,66,77,88,99 \right\rbrace$.

Например $10=(10+1)-1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость целых чиссел
Сообщение01.09.2017, 18:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Stensen, ну да, по-школьному этого достаточно. Можно немножко построже и поподробнее. Или действительно через признак делимости. Если Вы, по своему обыкновению, не затеяли какую-то мощную атаку на Основы :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость целых чиссел
Сообщение02.09.2017, 12:13 
Аватара пользователя


26/11/14
754
Всем спасибо, пока понятно.

gris в сообщении #1244373 писал(а):
Если Вы, по своему обыкновению, не затеяли какую-то мощную атаку на Основы :-)
Да нет, пока разбираюсь в указаниях к задачам, данных их авторами, все они не подробны, поэтому возникают вопросы.

gris в сообщении #1244373 писал(а):
Stensen, ну да, по-школьному этого достаточно. Можно немножко построже и поподробнее. Или действительно через признак делимости.
По признаку делимости Вы имеете в виду, что число, делящееся на $11$, должно иметь вид: $ \overline{aa}$ (разность сумм цифр, стоящих на четных и нечетных местах)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость целых чиссел
Сообщение02.09.2017, 17:00 
Заслуженный участник


31/12/05
1405
Stensen в сообщении #1244328 писал(а):
$ \overline{ab}\cdot \overline{cd} = (10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd$

$=99ac+11(ad+bc)+(a-b)(c-d)$. Первые два слагаемых делятся на $11$, а последнее не равно $0$ (так как $a\ne b$, $c\ne d$) и не делится на $11$, потому что каждая из двух скобок - целое число от $-9$ до $9$ и их произведение (точнее, его модуль) должно быть в таблице умножения на обложке тетради, а в ней нет чисел $11,\dotsc,99$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость целых чиссел
Сообщение03.09.2017, 07:20 
Аватара пользователя


26/11/14
754
Спасибо, все понятно

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group