2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Механические колебания.
Сообщение26.08.2017, 09:52 


28/01/15
662
Здравствуйте. Изучая тему механических колебаний, я наткнулся на деление колебаний по 3 критериям:
1. Гармоничности:
1) гармонические
2) негармонические
2. Периодичности:
1) периодические
2) непериодические
3. Затуханию:
1) затухающие
2) незатухающие
Из комбинаторных рассуждений, возможно $2^3 = 8$ вариантов колебаний:
1. Затухающие периодические гармонические колебания: колебания идеального камертона
2. Затухающие периодические негармонические колебания: колебания идеальной струны
3. Затухающие непериодические гармонические колебания: колебания реального камертона (квазипериодические)
4. Затухающие непериодические негармонические колебания: колебания реальной струны (квазипериодические)
5. Незатухающие периодические гармонические колебания: ?
6. Незатухающие периодические негармонические колебания: ?
7. Незатухающие непериодические гармонические колебания: ?
8. Незатухающие непериодические негармонические колебания: ?
У меня 2 вопроса:
1. Верно ли моё предположение о существовании 8 вариантов колебаний?
2. Верно ли подобраны примеры этих колебаний?
И еще просьба: помогите подобрать примеры, где у меня стоят знаки вопроса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механические колебания.
Сообщение26.08.2017, 10:16 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Строго говоря гармонические колебания по определению должны быть периодическими.
Да еще с постоянной амплитудой. То есть незатухающие.
Хотя, если колебания описываются синусоидой с постоянной частотой, а амплитуда медленно затухает, например по экспоненте, то такие колебания вроде называют гармонические затухающие.
Вы еще забыли включить такой параметр как свободные и вынужденные колебания.
Поскольку в природе незатухающих свободных колебаний практически не бывает, особенно если это механичесие колебания, то можно скорее говорить о вынужденных незатухающих колебаниях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механические колебания.
Сообщение29.08.2017, 19:56 
Аватара пользователя


09/06/17
62
Нижний Тагил
Solaris86 в сообщении #1243105 писал(а):
И еще просьба: помогите подобрать примеры, где у меня стоят знаки вопроса.

Не знаю, правильные или нет, но я нашел вот такие примеры колебаний:
3. Затухающие непериодические гармонические колебания: колебания ветвей деревьев во время ветра.
4. Затухающие непериодические негармонические колебания: колебания провода линий электропередач во время ветра.
5. Незатухающие периодические гармонические колебания: колебания маятника часов.
6. Незатухающие периодические негармонические колебания: колебания мембраны динамика при подаче на него прерывистых сигналов постоянной частоты (электрозвонок)
7. Незатухающие непериодические гармонические колебания: колебания воздуха во время передачи звуковых сигналов (например шум от водопада)
8. Незатухающие непериодические негармонические колебания: колебания атмосферного давления.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механические колебания.
Сообщение29.08.2017, 20:08 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
fred1996 в сообщении #1243108 писал(а):
Строго говоря гармонические колебания по определению должны быть периодическими.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механические колебания.
Сообщение29.08.2017, 21:21 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
VLK17 в сообщении #1243877 писал(а):
Solaris86 в сообщении #1243105 писал(а):
И еще просьба: помогите подобрать примеры, где у меня стоят знаки вопроса.

Не знаю, правильные или нет, но я нашел вот такие примеры колебаний:
3. Затухающие непериодические гармонические колебания: колебания ветвей деревьев во время ветра.
4. Затухающие непериодические негармонические колебания: колебания провода линий электропередач во время ветра.
5. Незатухающие периодические гармонические колебания: колебания маятника часов.
6. Незатухающие периодические негармонические колебания: колебания мембраны динамика при подаче на него прерывистых сигналов постоянной частоты (электрозвонок)
7. Незатухающие непериодические гармонические колебания: колебания воздуха во время передачи звуковых сигналов (например шум от водопада)
8. Незатухающие непериодические негармонические колебания: колебания атмосферного давления.
Ну вот как бы не угадали.
Физическая энциклопедия писал(а):
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ - колебания, при к-рых физ. (или любая другая) величина изменяется во времени по синусоидальному закону $x=A\,sin(\omega t + \varphi)$, где $x$ - значение колеблющейся величины в момент времени $t$ (для механич. Г. к., напр., смещение и скорость, для электрич.- напряжение и сила тока), $A,\,\omega,\,\varphi$ - пост. величины
Поэтому гармонические колебания, вообще говоря, не могут быть ни затухающими, ни апериодическими - они всегда периодические (с периодом $T=2\pi/\omega$) и незатухающие ($A$ - постоянная величина).

Solaris86 в сообщении #1243105 писал(а):
1. Верно ли моё предположение о существовании 8 вариантов колебаний?
2. Верно ли подобраны примеры этих колебаний?
И классификация неверная, и примеры (см. выше определение их энциклопедии). Итого, по Вашей классификации, бывает 5 видов колебаний: гармонические и 4 вида негармонических (комбинации по затуханию и периодичености). Однако колебания могут быть близкими к гармоническим на конечном промежутке времени, например, когда они описываются уравнением, сходным с уравнением гармонических колебаний, но с медленно меняющимися (по сравнению с начальным периодом) параметрами. И этот случай гораздо ближе к физике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механические колебания.
Сообщение30.08.2017, 01:19 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Строго говоря ведь периодичность $\exists T>0\; \forall t\in\ldots\; f(t+T) = f(t)$ с затуханием тоже несовместима. (Подумал, что уже упоминали, а вроде нет.) С теми же самыми добавлениями о «почти периодичности», конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механические колебания.
Сообщение30.08.2017, 02:52 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Самое главное мне кажется то, что на практике как раз наиболее важны комбинированные случаи колебаний.
1. Колебания с вязким трением, когда сила трения пропорциональна скорости.
$x=A\exp(-\alpha t)\sin(\omega t)$
2. Колебания с сухим трением, что приводит к некоторой кусочной полупериодичности по той же синусоиде, но со смещенным "равновесным" положением.
3. Вынужденные колебания с вязким трением с периодической силой трения $F=F_0\sin(\omega t)$
4. Биения. Наложение двух гармонических колебаний с близкими частотами и одинаковой амплитудой
$x=A\sin(\Omega t)\sin(\omega t)$
5. Гармонические стоячие волны в резонаторах, где имеем дело с гармониками - наложение гармонических колебаний с кратными частотами. Частный пример - закрепленная в двух концах натянутая струна.

Как видно, все эти колебания в известном смысле гамонические. Но еще амплитуда изменяется достаточно медленно по сравнению с основной колебательной частотой. И изменения этой амплитуды описываются достаточно просто.

Ну и, как понятно, все это относится к весьма простым одномерным колебательным системам с одной выделенной частотой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механические колебания.
Сообщение30.08.2017, 13:32 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
arseniiv в сообщении #1243914 писал(а):
Строго говоря ведь периодичность $\exists T>0\; \forall t\in\ldots\; f(t+T) = f(t)$ с затуханием тоже несовместима
Согласен. Сам по невнимательности совершил ту же ошибку, что критиковал: периодическую функцию с затухающей амплитудой причислил к периодическим. А всё из-за нестрогости жаргонных терминов.

fred1996 в сообщении #1243917 писал(а):
Самое главное мне кажется то, что на практике как раз наиболее важны комбинированные случаи колебаний.
Да. А строго гармонические и периодические колебания - это лишь идеализации, порой дающие неплохие приближения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механические колебания.
Сообщение30.08.2017, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Такие "классификации" возникают при самом начальном и поверхностном знакомстве с предметом. А по мере углубления знаний, надобность в них отпадает.

Механические колебания?

I. Сначала рассмотрим функцию $x(t),$ которая описывает само колебание. Здесь сначала возникают
    Периодические функции - такие, что $x(t+T)=x(t),$ а остальные называются непериодическими. Из них особо выделяются
      Гармонические (колебания) - вида $x=A\cos(\omega t+\varphi)$ (общепринято использовать косинус, а не синус).

    Среди непериодических стоит отметить иногда встречающиеся:
      - квазипериодические затухающие (колебания) - такие, что $x(t+T)=e^{-\beta t}x(t),$ и в том числе
        $x=A\,e^{-\beta t}\cos(\omega t+\varphi)$ - "затухающие гармонические";
      - раскладывающиеся в сумму гармонических или "затухающих гармонических".

II. Далее рассмотрим динамическую систему, совершающую колебания. Такая система задаётся некоторым дифференциальным уравнением (ДУ), а кроме того, условия движения этой системы становятся начальными и другими условиями.
$$\text{ДУ}+\text{условия}=\text{решение ДУ},$$ то есть как раз функция движения. Прежде всего, обсуждается уравнение
    Гармонического осциллятора
    $$\dfrac{d^2 x}{dt^2}+\omega^{2}x=0\qquad\Bigl(\,\,\ddot{x}+\omega^{2}x=0\,\,\Bigr),$$ которое возникает, например, у пружинного маятника, у математического маятника (приближённо), у крутильного маятника, и в других механических системах. И не только в механических, так что оно интересно во всей физике. Гармонический осциллятор совершает гармонические колебания.

    Для гармонического осциллятора рассматриваются различные обобщения, охватывающие различные физические ситуации. Прежде всего это гармонический осциллятор с затуханием
    $$\dfrac{d^2 x}{dt^2}+2\beta\dfrac{dx}{dt}+\omega^{2}x=0\qquad\Bigl(\,\,\ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega^{2}x=0\,\,\Bigr),$$ совершающий (при небольшом затухании) "затухающие гармонические колебания". Механически он реализуется при движении маятника в вязкой среде при не слишком большой скорости движения - когда сила трения ведёт себя линейно, а не квадратично.

    Другой важный вариант - осциллятор с возбуждающей силой, совершающий вынужденные колебания (а до этого осциллятор и колебания назывались свободными):
    $$\dfrac{d^2 x}{dt^2}+\omega^{2}x=f(t)\qquad\Bigl(\,\,\ddot{x}+\omega^{2}x=f(t)\,\,\Bigr),$$ где функция $f(t)$ задаётся внешними условиями (например, кто-то качает подвес маятника), и должна включаться в условия математической постановки задачи. Здесь теория становится шире:
      - есть возбуждающая сила общего вида,
      - есть периодическое возбуждение $f(t+T_f)=f(t),$ период которой может не совпадать с периодом свободных колебаний;
        - в частности, есть гармоническое возбуждение $f=F\cos(\omega t+\varphi).$
    Результаты здесь шире и разнообразнее, чем можно вместить в один пост: они изложены в целом учебнике по линейным дифференциальным уравнениям.

    Эти варианты можно объединить. Кроме того, возможно рассматривать нелинейные уравнения, и вообще обсуждать динамические системы общего вида, задаваемые либо дифференциальными уравнениями, либо фазовыми портретами. Здесь возникают разные интересные явления:
      - резонанс;
      - автоколебания (простейший пример - детские качели, и волны от ветра на воде);
      - параметрический резонанс;
      - явления хаоса и самоорганизации;
    и многое другое.

Надеюсь, теперь понятно, что в какую-то "табличку" из 8 или из 88 клеточек это не укладывается, и бессмысленно пытаться уложить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механические колебания.
Сообщение30.08.2017, 20:39 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Скорее тогда для классификации колебательных процессов целесообразнее рисовать не табличку, а дерево.
Кстати, мне всегда было интересен такой момент. Почему гармонические колебания принято называть синусоидальными, но при этом в формулах использовать косинус?
И потом колебательные процессы сами по себе достаточно уникальны в физике в том плане, что являются неким мостиком между классической и современной физикой.
Пока студент не освоил в полной мере "классические" колебательные процессы и связанную с ними математику, не имеет смысла приступать к изучению современной физики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механические колебания.
Сообщение30.08.2017, 21:17 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Косинус и синус)

fred1996 в сообщении #1243988 писал(а):
Почему гармонические колебания принято называть синусоидальными, но при этом в формулах использовать косинус?
С этим может быть как-нибудь связано название кривой (синусоида). (В одном месте я видел «кривую» с названием «косинусоида», но это ведь та же синусоида, просто сдвинутая, что на названии кривой сказываться никак не должно (с существующей традицией именования это предположение прекрасно совмещается — взять хоть названия всех кривых не более чем второго порядка). Ну да в том месте вообще бардака было полно.) А косинус, наверно, удобен тем, что когда фаза колебания нулевая, величина равна амплитуде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механические колебания.
Сообщение30.08.2017, 23:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
fred1996 в сообщении #1243988 писал(а):
Скорее тогда для классификации колебательных процессов целесообразнее рисовать не табличку, а дерево.

Примерно это я и попытался изобразить. Однако и не просто дерево, а дерево с переплетёнными ветвями :-)

fred1996 в сообщении #1243988 писал(а):
Почему гармонические колебания принято называть синусоидальными, но при этом в формулах использовать косинус?

По историческим причинам: античные авторы назвали синус синусом, поскольку ещё не знали, что косинус "первичнее". Потом Эйлер открыл формулы
$$\cos z=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\qquad\sin z=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},$$ и стало ясно, что базис начинается с косинуса, а не с синуса.

fred1996 в сообщении #1243988 писал(а):
И потом колебательные процессы сами по себе достаточно уникальны в физике в том плане, что являются неким мостиком между классической и современной физикой.

Ну, они вообще в некотором смысле центральная тема во всей физике.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group