Натуральные числа от 1 до 1000 разбиты на 20 групп...

[Ktina]

а) Натуральные числа от 1 до 1000 разбиты на 20 групп. Докажите, что произведение чисел в какой-то из групп делится на миллион.

б) Натуральные числа от 1 до 1000 разбиты на 20 групп. Докажите, что произведение чисел в какой-то из групп делится на десять миллионов.

По первому пункту, кажется, несложно. Всего у нас 100 чисел, кратных 10. Если в какой-то из групп есть 6 таких чисел, то задача решена. В противном случае имеем 20 групп, в каждой по 5 чисел кратных 10. В одной из таких групп будет и число 1000, которое вместе с остальными 4 числами, кратными 10, и даст произведение, кратное миллиону (и даже десяти миллионам).

По второму пункту возникли затруднения. А задача-то для 5-го класса! Хотя и с матбоя. А я не могу решить. Мне очень стыдно.
Пожалуйста, помогите решить.
Зарангеш благодарю!

[Cash]

Не удивительно. У вас 111 кроликов и их без проблем можно засунуть в 20 клеток без толкучки (7 кроликов в клетке). Кажется, что во второй задаче пропущено какое-то очень важное условие. Например, про размер групп, чтобы начать учитывать "двойки" и "пятерки", а не только "десятки"

[Ktina]

Cash в сообщении #1243957 писал(а):

Не удивительно. У вас 111 кроликов и их без проблем можно засунуть в 20 клеток без толкучки (7 кроликов в клетке). Кажется, что во второй задаче пропущено какое-то очень важное условие. Например, про размер групп, чтобы начать учитывать "двойки" и "пятерки", а не только "десятки"

А почему кроликов именно 111? Если в одной из клеток будет 7 нечётных чисел, кратных 5, и 7 чётных чисел, не кратных 5, то из этого тоже можно будет собрать кролика, разве нет?
Или Вы можете привести ко второму пункту опровергающий его контрпример?

[worm2]

Понятно, что числа, оканчивающиеся на нечётную цифру, кроме пятёрки, можно вообще не считать.

Все числа, оканчивающиеся на чётную цифру, кроме 0, соберём в группу 1. Туда же пойдут 1000, 990, 970, 930. Произведение чисел группы делится на миллион, но не на 10 миллионов.
Числа, оканчивающиеся на 5, соберём в группу 2. Сюда же добавим 950, 910, 890, 870, 850, 830. Произведение чисел группы делится на миллион, но не на 10 миллионов.
Остались числа, оканчивающиеся на 0, не превышающие 980.
3-я группа: 20, 40, 60, 80, 100.
4-я группа: 120, 140, 160, 180, 200.
....
12-я группа: 920, 940, 960, 980.
Все числа, делящиеся на 20, разобрали. Остались числа, оканчивающиеся на 10, 30, 50, 70, 90, не превышающие 810.
Всего таких чисел 41. Разместить их в в оставшиеся 8 групп так, чтобы ни в одной группе не было больше 6 чисел, не представляет никакой проблемы. Например:
13-я группа: 10, 30, 50, 70, 90
14-я группа: 110, 130, 150, 170, 190
15-я группа: 210, 230, 250, 270, 290
...
20-я группа: 710, 730, 750, 770, 790, 810.

Или я что-то упустил, или построен контрпример ко 2-му пункту.

-- Ср авг 30, 2017 19:10:05 --

Обнаружил небольшое враньё в своей конструкции.
В 7-ю группу затесалось число 500, из-за чего произведение стало делиться на 10 миллионов.
Непорядок!
Но это единственное такое исключение. Нужно эту 500 поместить в 13-ю группу, а из 13-й группы число 10 переместить в 14-ю. Некрасиво, но работает.
Или нет? Есть ещё упущения?

-- Ср авг 30, 2017 19:11:22 --

Ещё 5 групп с 15-й по 19-ю дают в произведение число, не делящиеся на миллион, а только на 100 тысяч. Так что резерв ещё есть.

-- Ср авг 30, 2017 19:12:53 --

И в 12-й группе, и в поредевшей 7-й по 4 нуля вместо разрешённых 6.

[Cash]

Проще "пятерки" скинуть в две группы:
1-я группа: 50, 150, 250, 350, 450, 550
2-я группа: 500, 650, 750, 850, 950
В эти же группы добавить и все числа, оканчивающиеся на 5.

Остальные можно уже скидывать почти как угодно.

Ktina в сообщении #1243960 писал(а):

Если в одной из клеток будет 7 нечётных чисел, кратных 5, и 7 чётных чисел, не кратных 5, то из этого тоже можно будет собрать кролика, разве нет?

Кажется очевидным, что свободы достаточно, чтобы их развести

[Ktina]

Cash
worm2
Большое спасибо!