2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Плоскость как частный случай сферы
Сообщение27.08.2017, 16:07 


27/08/17
4
Дано: одномерное дифференциальное уравнение или система уравнений в сферической симметрии.
Получаем разностную схему для решения уравнения.
В разностной схеме присутствуют геометрические характеристики ячеек сетки, такие как объёмы ячеек, площади граней и т.д.
Заменяем геометрические характеристики сетки для сферы на характеристики сетки для плоскости.
Получаем разностную схему для решения того же самого уравнения в плоской симметрии.
Вопрос: всегда ли можно построить такую разностную схему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость как частный случай сферы
Сообщение27.08.2017, 16:16 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
11836
Кронштадт
По-видимому, ответ "да", но не очень понятно, что Вы имели в виду.
thepooh в сообщении #1243438 писал(а):
Дано: одномерное дифференциальное уравнение или система уравнений в сферической симметрии.
Т.е. задача обладает сферической симметрией и может быть сведена к одномерной.
thepooh в сообщении #1243438 писал(а):
Заменяем геометрические характеристики сетки для сферы на характеристики сетки для плоскости.
Получаем разностную схему для решения того же самого уравнения в плоской симметрии.
Откуда при этом появляется плоскость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость как частный случай сферы
Сообщение27.08.2017, 16:44 


27/08/17
4
Спасибо за ответ. С Вашего позволения, напишу более конкретно.
Имеется уравнение переноса частиц в приближении метода сферических гармоник P3 в одномерной геометрии в плоской симметрии:
\left\{\!\begin{aligned}
&  \frac{ d f_{1} (x) }{ dx } = G_{0} f_{0} (x) + Q(x) \\
&  2\frac{ d f_{2} (x) }{ dx } + \frac{ d f_{0} (x) }{ dx } = 3G_{1} f_{1} (x) \\
&  3\frac{ d f_{3} (x) }{ dx } + 2\frac{ d f_{1} (x) }{ dx } = 5G_{2} f_{2} (x)  \\
&  3\frac{ d f_{2} (x) }{ dx } = 7G_{3} f_{3} (x)  
\end{aligned}\right.

и сферической симметрии:

\left\{\!\begin{aligned}
&  \left( \frac{ d }{ dr } + \frac{ 2 }{ r } \right) f_{1} (r) = G_{0} f_{0} (r) + Q(r) \\
&  2\left( \frac{ d }{ dr } + \frac{ 3 }{ r }  \right) f_{2} (r) + \frac{ d }{ dr }f_{0} (r) = 3G_{1} f_{1} (r)  \\
&  3\left( \frac{ d }{ dr } + \frac{ 4 }{ r }  \right)  f_{3} (r) + 2\left( \frac{ d }{ dr } - \frac{ 1 }{ r } \right)  f_{1} (r) = 5G_{2} f_{2} (r)   \\
&  3\left( \frac{ d }{ dr } - \frac{ 2 }{ r } \right)  f_{2} (r) = 7G_{3} f_{3} (r)   
\end{aligned}\right.

где G - константы среды, не зависящие от кординат, f - искомые функции, Q - заданный источник частиц.

Граничные условия могут быть заданы какие угодно.

Можно ли построить разностную схему, которая бы описывала и плоский и сферический случай одновременно?
Имеется ввиду, что в схему входят такие характеристики ячеек как площади граней, объёмы и т.д. и если мы подставляем величины для плоских ячеек, то получаем схему для плоскости, а если для сферических ячеек, то схема начинает описывать сферический случай

Например, для P1 приближения такую схему построить можно, если записать уравнение в следующем виде

\left\{\!\begin{aligned}
&  \frac{ 1 }{ r^{2}  } \left( \frac{ d }{ dr }r^{2} f_{1}(r) \right) = G_{0}f_{0}(r) + Q(r) \\
&  \frac{ d }{ dr }f_{0}(r) = 3G_{1}f_{1}(r)     
\end{aligned}\right.

Затем первое уравнение умножить на 4\pi r^{2} и проинтегрировать по i-той ячейке от r_{i - 1\slash2 } до r_{i + 1\slash2 }. Второе уравнение просто записать на грани ячейки , например r_{i + 1\slash2 }. Получим

\left\{\!\begin{aligned}
&  4 \pi r_{i + 1\slash2 }^{2}f_{1}^{i + 1\slash2 } - 4 \pi r_{i - 1\slash2 }^{2}f_{1}^{i - 1\slash2 } = \left( \frac{ 4 }{ 3 }  \pi r_{i + 1\slash2 }^{3} - \frac{ 4 }{ 3 }  \pi r_{i - 1\slash2 }^{3} \right) \left( G_{0}^{i}f_{0}^{i} + Q^{i} \right)     \\
&  \frac{ f_{0}^{i + 1} - f_{0}^{i} }{ l_{i + 1, i}  }= 3G_{1}^{i + 1\slash2 } f_{1}^{i + 1\slash2 }      
\end{aligned}\right.

Или по другому

\left\{\!\begin{aligned}
&  S_{i + 1\slash2 }f_{1}^{i + 1\slash2 } - S_{i - 1\slash2 }f_{1}^{i - 1\slash2 } = V_{i} \left( G_{0}^{i}f_{0}^{i} + Q^{i} \right)     \\
&  \frac{ f_{0}^{i + 1} - f_{0}^{i} }{ l_{i + 1, i}  }= 3G_{1}^{i + 1\slash2 } f_{1}^{i + 1\slash2 }      
\end{aligned}\right.

Теперь если заменить объёмы ячеек ($V_{i}$) и площади граней ($S_{i + 1\slash2 }$) для сферы на величины для плоскости, то получим разностную схему для плоскости.
Но вопрос как то же самое проделать для уравнений более высоких приближений (P3 и т.д.) у меня остаётся

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость как частный случай сферы
Сообщение27.08.2017, 17:19 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
11836
Кронштадт
thepooh в сообщении #1243451 писал(а):
Можно ли построить разностную схему, которая бы описывала и плоский и сферический случай одновременно?
Теперь вопрос понятен, но только Вы совершенно зря называете одномерный случай плоским. Если очень хочется придумать ему геометрическое название, пусть будет линейным.
:-)

Но про ответ я тогда, пожалуй, ничего сказать не берусь. Такие варианты для $P3$ мне не попадались; есть подозрение, что поскольку простой связи $f_i$ с физическими характеристиками нет, то и ответ на исходный вопрос, скорее всего, отрицательный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость как частный случай сферы
Сообщение28.08.2017, 23:47 


27/08/17
4
Ну там оба случая одномерные, только один обладает сферической симметрией, другой - плоской. Это имелось ввиду.
Вообще говоря, можно получить искомую разностную схему, преобразовав исходные уравнения.
А именно, исключить переменные $f_{1},f_{2},f_{3}$ и получить уравнение 4-го порядка для $f_{0}$.
Уравнение будет выглядеть следующим образом в плоском:

$
 \left( \frac{ d^{2} }{ dx^{2} } - A \right)\left( \frac{ d^{2} }{ dx^{2} } - B \right)f_{0} (x) = \left( C\frac{ d^{2} }{ dx^{2} } - D \right)Q(x)
$

и сферическом случае

$ \left(\frac{ 1 }{ r^{2} } \frac{ d }{ dr }r^{2}\frac{ d }{ dr } - A \right)\left( \frac{ 1 }{ r^{2} }\frac{ d }{ dr }r^{2}\frac{ d }{ dr } - B \right)f_{0} (r) = \left( C\frac{ 1 }{ r^{2} }\frac{ d }{ dr }r^{2}\frac{ d }{ dr } - D \right)Q(r)
$

где A, B, C, D выражаются через G

Далее в обоих случаях представляем решение в виде суммы $f_{0}(r) = f_{a}(r) + f_{b}(r)$ где

$
\left(\Delta - A \right)f_{a}(r) = S_{a}f_{0}(r) + F_{a}Q(r)
$
$
\left(\Delta - B \right)f_{b}(r) = S_{b}f_{0}(r) + F_{b}Q(r)
$

где $S_{a}, F_{a},S_{b}, F_{b}$ выражаются через A, B, C, D

Для таких уравнений разностная схема будет выглядеть одинаково в плоском и сферическом случае, но возникает сложность постановки граничных условий, т.к. граничные условия накладываются на переменные $f_{0},f_{1},f_{2},f_{3}$,следовательно их нужно выразить через $f_{a},f_{b}$ и применить граничные условия. К сожалению сделать это в виде универсальном и для плоскости и для сферы мне не удается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group