2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Вопрос о пересечении шара и сферы
Сообщение27.08.2017, 18:48 


22/08/12
127
Dmitriy40 в сообщении #1243499 писал(а):
Ну а углы при вершинах (достаточно только одного, у сферы) можно найти из теоремы косинусов.

Все понял, только не понятно для чего угол при вершине сферы определить, с учетом того, что у меня есть все данные окружности пересечения.

-- 27.08.2017, 20:01 --

Огромное спасибо всем. А Dmitriy40 отдельную благодарность, все мои почтения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о пересечении шара и сферы
Сообщение27.08.2017, 19:55 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Угол нужен чтобы попроще определить не только лишь саму окружность, но и её "внутренность" (кусок сферы), ведь ответом является не окружность, а кусок сферы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о пересечении шара и сферы
Сообщение27.08.2017, 20:02 


22/08/12
127
Dmitriy40 в сообщении #1243526 писал(а):
Угол нужен чтобы попроще определить не только лишь саму окружность, но и её "внутренность" (кусок сферы), ведь ответом является не окружность, а кусок сферы.

Разве, пересечение не сама окружность (гиперсфера)? Или это круг (гипершар)?

-- 27.08.2017, 21:04 --

Тогда не совсем понял как из угла получить описание куска сферы (гиперсферы).

-- 27.08.2017, 21:10 --

И как из куска сферы предъявить какую-либо точку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о пересечении шара и сферы
Сообщение27.08.2017, 21:15 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
hazzo
Ну Вы же в самом начале писали уже, что пересечение двух сфер - окружность. А вот сферы и шара - уже не окружность, а кусок сферы, ограниченный той же окружностью. Не круг.
При увеличении количества измерений окружность переходит в сферу, потом в 3-сферу, потом в гиперсферу (меньшей размерности); сфера (и её кусок) в 3-сферу и потом гиперсферу (и уже её кусок); шар так и остаётся n-мерным шаром. Если на сфере ввести сферическую систему координат с полюсом на прямой с центрами сферы и шара, то фигура пересечения будет частью сферы вокруг полюса до некоей параллели (включительно). Какой именно - считается из радиусов (условие на треугольник). Соответственно угол из центра сферы - грубо говоря номер параллели. И точек в этой области навалом (для двух- и более мерного случая, начиная от дуги окружности в двухмерном случае, до куска гиперсферы).

-- 27.08.2017, 21:16 --

Если надо любую точку - возьмите точку на гиперсфере, принадлежащую прямой соединяющей центры гиперсферы и n-мерного шара. Уж её то определить проще всего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о пересечении шара и сферы
Сообщение27.08.2017, 21:48 


22/08/12
127
Dmitriy40, спасибо большое. Все понял. Всех благ Вам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о пересечении шара и сферы
Сообщение28.08.2017, 11:15 


22/08/12
127
А что означает совпадение центра окружности пересечения с центром самой сферы (гиперсферы), и её радиуса с радиусом сферы? То есть окружность пересечения есть один из больших окружностей сферы (гиперсферы). Так, как тогда получить (описать) круговой сегмент сферы (гиперсферы) или как определить о какой именно большой окружности сферы (гиперсферы) идет речь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о пересечении шара и сферы
Сообщение28.08.2017, 12:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
hazzo в сообщении #1243593 писал(а):
А что означает совпадение центра окружности пересечения с центром самой сферы (гиперсферы), и её радиуса с радиусом сферы?
Что-то, кажется, Вы опять недопоняли. Перечитайте всё с самого начала ещё раз.

Если я правильно понял Ваш вопрос, эти "совпадения" вовсе не обязаны иметь место. Откуда Вы их взяли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о пересечении шара и сферы
Сообщение28.08.2017, 12:59 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
hazzo в сообщении #1243593 писал(а):
А что означает совпадение центра окружности пересечения с центром самой сферы (гиперсферы), и её радиуса с радиусом сферы?
Если я Вас правильно понял, то это означает что внутри шара оказалась ровно половина сферы (полусфера), для случая, когда радиус шара больше радиуса сферы. В противном случае (радиус шара меньше или равен радиусу сферы) это невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о пересечении шара и сферы
Сообщение28.08.2017, 13:33 


22/08/12
127
Mikhail_K в сообщении #1243605 писал(а):
Если я правильно понял Ваш вопрос, эти "совпадения" вовсе не обязаны иметь место. Откуда Вы их взяли?

Из расчета треугольника. Эти "совпадения" могут быть и они есть.

-- 28.08.2017, 14:38 --

Walker_XXI в сообщении #1243609 писал(а):
hazzo в сообщении #1243593 писал(а):
А что означает совпадение центра окружности пересечения с центром самой сферы (гиперсферы), и её радиуса с радиусом сферы?
Если я Вас правильно понял, то это означает что внутри шара оказалась ровно половина сферы (полусфера), для случая, когда радиус шара больше радиуса сферы. В противном случае (радиус шара меньше или равен радиусу сферы) это невозможно.

Вы правильно поняли. Бывает что, внутри шара оказывается даже более половины сферы (радиус шара больше радиуса сферы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о пересечении шара и сферы
Сообщение28.08.2017, 14:35 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
hazzo в сообщении #1243593 писал(а):
А что означает совпадение центра окружности пересечения с центром самой сферы (гиперсферы), и её радиуса с радиусом сферы?
Да ничего особого не означает, ну вот так получилось, что сфера вдвинулась в шар до своего экватора (если полюс на прямой соединяющей центры), бывает. Просто один из частных случаев.

hazzo в сообщении #1243593 писал(а):
То есть окружность пересечения есть один из больших окружностей сферы (гиперсферы).
Это возможно только для одного частного случая, экватора, все другие параллели не являются большой окружностью сферы.

hazzo в сообщении #1243593 писал(а):
Так, как тогда получить (описать) круговой сегмент сферы (гиперсферы) или как определить о какой именно большой окружности сферы (гиперсферы) идет речь?
Ну а что сложного? Не знаете где находится экватор у (гипер)сферы в полярных координатах? Или не знаете что за кусок сферы вырезается от полюса до экватора? Угол раскрыва конуса из центра сферы будет $180$°, вот и всё. Он может и больше быть, вплоть до $360$° - вообще вся сфера может поместиться внутри шара, всё зависит от соотношений диаметров и расстояний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о пересечении шара и сферы
Сообщение28.08.2017, 15:06 


22/08/12
127
Dmitriy40 в сообщении #1243621 писал(а):
Угол раскрыва конуса из центра сферы будет $180$°, вот и всё. Он может и больше быть, вплоть до $360$°.

Мне все-таки не понятно как опираясь на полученном из теоремы косинусов углу получить кусок (гипер)сферы. И в аналитическом ли виде получу его или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о пересечении шара и сферы
Сообщение28.08.2017, 15:20 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Кусок гиперсферы единичного радиуса, находящейся в начале координат, определяется системой уравнений $(\mathbf r,\mathbf s) = \cos\alpha$, $(\mathbf r,\mathbf r) = 1$, где $(,)$ — скалярное произведение, $s$ — единичный вектор в интересующем направлении, $\alpha$ — угол при вершине гиперконуса, $\mathbf r$ — радиус-вектор интересующих точек. Не знаю, аналитически это по вашим меркам или нет. Если нужна сфера меньшей размерности, добавляете в систему столько уравнений гиперплоскостей $(\mathbf r,\mathbf n_i) = 0$, сколько понадобится (для простоты нормали $\mathbf n_i$ к гиперплоскостям все вместе с $\mathbf s$ должны быть линейно независимыми).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о пересечении шара и сферы
Сообщение28.08.2017, 15:55 


22/08/12
127
arseniiv в сообщении #1243630 писал(а):
Кусок гиперсферы единичного радиуса, находящейся в начале координат, определяется системой уравнений $(\mathbf r,\mathbf s) = \cos\alpha$, $(\mathbf r,\mathbf r) = 1$, где $(,)$ — скалярное произведение, $s$ — единичный вектор в интересующем направлении, $\alpha$ — угол при вершине гиперконуса, $\mathbf r$ — радиус-вектор интересующих точек. Не знаю, аналитически это по вашим меркам или нет. Если нужна сфера меньшей размерности, добавляете в систему столько уравнений гиперплоскостей $(\mathbf r,\mathbf n_i) = 0$, сколько понадобится (для простоты нормали $\mathbf n_i$ к гиперплоскостям все вместе с $\mathbf s$ должны быть линейно независимыми).

Спасибо большое. Пока мне трудно понять как из всего этого получить сами точки пересечения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о пересечении шара и сферы
Сообщение28.08.2017, 15:56 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
hazzo в сообщении #1243626 писал(а):
Мне все-таки не понятно как опираясь на полученном из теоремы косинусов углу получить кусок (гипер)сферы.
А в двухмерном случае, на плоскости с окружностью и кругом, понятно как получить дугу окружности исходя из центрального угла в центре окружности? Если да, то добавляете нужное количество измерений просто вращая полученную дугу окружности вокруг оси симметрии (прямой соединяющей центры) в дополнительных измерениях. Начните с трёхмерного случая, когда дуга окружности превращается в кусок сферы. Поняв этот переход пойти дальше в многомерие тривиально.

-- 28.08.2017, 16:01 --

(Сомнения)

arseniiv, не подскажете ли, не могут ли при повышении количества измерений появиться странные "лишние" решения? Что-то засомневался, ведь при понижении размерности решения с 3 до 2 от пересечения сфер по окружности перейдём к пересечению окружностей в двух точках, т.е. нарушается связность решения. Не может ли быть такого же (аналогичного) топологического перехода при повышении размерности? Сам никак не придумаю как проверить аналитически, разве чисто численно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о пересечении шара и сферы
Сообщение28.08.2017, 16:27 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Сомнения)

Я плохо следил за тем, какие решения получены, т. к. ТС всё время пускается в частности. Возьмём обычный круг, плоскость которого не проходит через центр обычной сферы, пересекающий её в результате по дуге малого круга — такое было? А чтобы прям несвязное, если 1-окружности не задействованы — не думаю, хотя строго доказать не возьмусь, и про аналогичное тоже.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group