Вопрос про пересечение множеств окрестности предельной точки

[permutation]

Ниже дано док-во того, что $(a, b), (a, b) \cap \mathbb Q$ не компактны.





Зачем доказывать $G_n \subset G_m?$ Думаю, что это нужно, чтоб можно было говорить о существований неко-го числа в $(a, b)$, который нах-ся за рамками $G_n$. Верно?

Утверждается ли тут, что $\bigcup_{n=1}^N G_n = G_N$ следует из $G_n \subset G_m$? Меня тут смущает слово "thus". Мне кажется такой импликаций тут нет потому, что $\bigcup_{n=1}^N G_n = G_N$ не зависит от $G_n \subset G_m$ и определение $G_N$ нам уже данo. Не/верно?

[NDP]

Я не знаю, какова была цель так формализовать доказательство в ущерб пониманию смысла происходящего. Вы не пробовали работать с другими источниками? Или принципиально работать именно с этим и пытаться понять все его изгибы и извивы?

$\{G_n\}$ покрытие, потому что, каждая точка интервала принадлежит хотя бы одному из этих множеств.
Поскольку система этих множеств расширяющаяся $G_1\subset G_2\subset G_3\subset \ldots$, любое конечное объединение множеств этой системы целиком содержится и равно множеству с максимальным номером-индексом из этого объединения. (Объединяются не обязательно все порядковые номера, как в тексте. Какие попало. Это не важно - важно, что самое широкое то, у которого самый большой номер.)

Поэтому конечный набор множеств, выбранный из нашего покрытия, всегда имеет вид $(a+1/N, b-1/N) \ $, $N$ - натурально. Очевидно, в интервале есть еще и другие точки, помимо точек этого набора, например, указанная напоследок в приведенном вами тексте, так что покрытием этот набор уже не является.

[permutation]

NDP в сообщении #1243016 писал(а):

Поскольку система этих множеств расширяющаяся $G_1\subset G_2\subset G_3\subset \ldots$, любое конечное объединение множеств этой системы целиком содержится и равно множеству с максимальным номером-индексом из этого объединения.

Это решает все вопросы выше.

[NDP]

А вы рисуйте. Не доказательство, но на начальных порах - где вы и находитесь - помогает. А потом можно попробовать доказать ту гипотезу, которая возникла на основе рисунка. Верить на слово - так же плохо, как и просто не понять.