2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Невырожденность матрицы, построенной из комплексной
Сообщение25.08.2017, 15:53 


12/11/13
78
Добрый день!
Возникла такая задача. Пусть есть матрица с комплексными элементами $H \in \mathbb{C}^{2n \times n}$. Из этой матрицы строится квадратная $2n \times 2n$ матрица с действительными элементами вида $$A=\begin{bmatrix}\operatorname{Re}\{H\} & \operatorname{Im}\{H\}\end{bmatrix}.$$ Вопрос - при каких условиях на матрицу $H$ можно утверждать, что матрица $A$ не вырождена?


Наброски решения. Допустим матрица $A​$ вырождена. Тогда существует вектор $\lambda\in\mathbb{R}^{2n}​$, $\lambda\ne 0​$, такой что $\lambda^\top A = 0​$. Запишем $$\lambda^\top A = \lambda^\top \begin{bmatrix}\operatorname{Re}\{H\} & \operatorname{Im}\{H\}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\lambda^\top\operatorname{Re}\{H\} & \lambda^\top\operatorname{Im}\{H\}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\operatorname{Re}\{\lambda^\top H\} & \operatorname{Im}\{\lambda^\top H\}\end{bmatrix}=0.$$ Это возможно только если $\lambda^\top H = 0​$.

Пусть $v^{(j)}\in \mathbb{C}^{2n}$ это $j$-ый столбец матрицы $H$. Обозначим $i$-ый элемент как $$h_{i,j}=v^{(j)}_i = L_{i,j} \exp(\mathrm{i}\varphi_{i,j}),$$ где $L$ и $\varphi$ это, соответственно, модуль и аргумент комплексного числа, $\mathrm{i}$ -- мнимая единица. Из $\lambda^\top H = 0$ следует что $\lambda^\top v^{(j)} = 0$ для всех $j$. Вот в этот момента мне кажется, что так как $\lambda$ состоит из действительных элементов, то можно найти ответ в виде каких-то условий на фазы $\varphi_{i,j}$, так как они не изменяются при умножении на $\lambda$.

А может это вообще что-то широко известное, и можно просто куда-то сослаться?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group