2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Про векторы, тензоры, ЭМ поле и третий закон Ньютона
Сообщение24.08.2017, 16:46 


16/07/14
201
Здравствуйте, у меня несколько вопросов:
Первый: Вот есть у нас уравнения Максвелла:
$ [ \nabla , \bar{H}]=\gamma \bar{E} +  \frac{\partial  \bar{D} }{\partial t} $
$ [ \nabla , \bar{E}]=- \frac{\partial  \bar{B} }{\partial t} $
$ \langle   \nabla , \bar{B} \rangle=0 $
$ \langle   \nabla , \bar{D} \rangle=\rho $
и с ними все здорово и замечательно, но если их разобрать по компонентам и собрать в тензорном варианте то выйдет:
$ F_{\alpha \beta , \gamma} + F_{\beta  \gamma ,  \alpha} + F_{\gamma \alpha  , \beta}  = 0$
$ F^{\alpha \beta}_{, \beta}   = \mu_0 J^\alpha $
Первый вопрос:
Понятно определенная формулировка используется в зависимости от поставленной задачи. Вопрос вот в чем: меня смущает что если мы в тензорах и формах, электромагнитное поле - объект тензорный $ F_{\alpha \beta}$, и ясно что компоненты тензора преобразуются из одно СО в другую СО как тензоры, с учетом постоянства определенных инвариантов. А если мы возьмем учебник попроще, то электромагнитное поле представлено уже как конгломерат электрического и магнитного поля по отдельности, понятно что так удобно для расчетов определенных задач.
Вот что мне не понято, ЭМ поле тензорное, но есть парочка инвариантов, которые создают исключения в преобразованиях между СО... каким образом тензорное поле превращается (легким движением) в два векторных?
намеки на решение:
Тензорно, $ F_{\alpha \beta}$ не сворачивается в два отдельных вектора, ну или мне скилла не хватает, потом с этим разделением на два векторных поля связаны как то инварианты, но опять же увидеть глубинный смысл скилла не хватает.
Второй вопрос:
В электротехнике, тоэ, да даже институтской и школьной физике, говорят что ток это вектор. Собственно согласно определению плотности тока
$ i= \int_{s} \langle   \bar{J} , d\bar{S} \rangle $ ток текущий в проводнике это скаляр, как ни крути, как и напряжение:
$ u= \int_{l} \langle   \bar{E} , d\bar{L} \rangle $.
Так вот, с напряжением все понятно, но ток это направленное движение заряженных частиц... Значит это определение больше про плотность тока чем про ток. И то что нам на ТОЭ говорили что ток это вектор это не верно? или они имели что вот это $ i= \int_{s} \langle   \bar{J} , d\bar{S} \rangle $ - только модуль вектора, а сам вектор $ \bar{i}= \int_{s} \langle   \bar{J} , d\bar{S} \rangle \bar{r}   $, где $ \bar{r} $ - единичный вектор?
Ну и третий вопрос:
Не раз читал на этом форуме, что вроде как уравнения Максвелла нарушают третий закон Ньютона. Тут я так и не понял с какой стороны подходить, ясно что тут скорее всего о силе Лоренца, о том как поле воздействует на заряженные тела или движущиеся, но как правильно интерпретировать так чтобы 3 закон Ньютона нарушился я не знаю.
да четвертый вопрос:
Природа силы Ампера - релятивистская? просто если написать $ \bar{F} = q [ \bar{v} , \bar{B}]  $, возникает соблазн что $ [ \bar{v} , \bar{B}] $ - это электрическое поле просто в другой СО. Ну вообще я наверно не прав, но ваше подтверждение не помешало бы.
да совсем забыл, пятый вопрос:
$ F_{\alpha \beta}$ - в разных книжках видел его по разному заполняют, в смысле только напряженностями, или только индукциями, или их помесью, что есть правда? есть ли утвержденная форма заполнения тензора, так сказать стандартная. Где её принимали, что об этом почитать в контексте вопроса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про векторы, тензоры, ЭМ поле и третий закон Ньютона
Сообщение24.08.2017, 18:06 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
specialist в сообщении #1242753 писал(а):
Вот что мне не понято, ЭМ поле тензорное, но есть парочка инвариантов, которые создают исключения в преобразованиях между СО... каким образом тензорное поле превращается (легким движением) в два векторных?



Инварианты тут ни при чем, а существо дела простое. Во-первых, что такое тензоры и, в частности, векторы. Это величины определенным образом преобразующиеся при преобразовании системы координат. На более математическом языке это величины, задающие базис представления некоторой группы (преобразований). Так вот, если взять преобразования группы Лоренца, то $E_i$ и $H_i$ --- это ни в коем случае не векторы, в группе Лоренца вообще нет 3-векторов, есть только 4-векторы. В этом случае электрическое и магнитное поле --- компоненты 4-тензора второго ранга. Но, если не брать все преобразования группы Лоренца, взять только трехмерные вращения, то можно показать (вообще-то это почти очевидно), что эти компоненты преобразуются как 3-векторы. Так что электрическое и магнитное поля есть векторы ПО ОТНОШЕНИЮ К ТРЕХМЕРНЫМ ВРАЩЕНИЯМ. И вовсе не векторы по отношению ко всей группе Лоренца. Вообще говорить, что есть вектор, а что не вектор, имеет смысл ТОЛЬКО по отношению к некой группе преобразований. Если можно так сказать, "вектор сам по себе" (безотносительно к группе преобразований) --- это вообще бессмыслица. Тензор точно также. Да и скаляр тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про векторы, тензоры, ЭМ поле и третий закон Ньютона
Сообщение24.08.2017, 18:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
specialist в сообщении #1242753 писал(а):
Вот что мне не понято, ЭМ поле тензорное, но есть парочка инвариантов, которые создают исключения в преобразованиях между СО... каким образом тензорное поле превращается (легким движением) в два векторных?

А вы "учебник посложнее" внимательно читали? Это обычно объясняется очень тщательно в тот момент, когда вводится тензор электромагнитного поля.

Главный намёк - это то, что разделение на два векторных поля зависит от системы отсчёта наблюдателя. Тогда введём 4-вектор скорости системы отсчёта наблюдателя: $u^\mu.$ Тогда можно свернуть его с тензором поля:
    $E_\nu=F_{\mu\nu}u^\nu$
    $B_\rho=\tfrac{1}{2}\varepsilon_{\lambda\mu\nu\rho}F^{\lambda\mu}u^\nu.$

specialist в сообщении #1242753 писал(а):
В электротехнике, тоэ, да даже институтской и школьной физике, говорят что ток это вектор. Собственно согласно определению плотности тока
$ i= \int_{s} \langle   \bar{J} , d\bar{S} \rangle $ ток текущий в проводнике это скаляр, как ни крути

Здесь просто вольность речи. Есть величина тока (по вашей формуле), а есть вектор плотности тока. Его тоже часто жаргонно называют "ток". Достаточно привыкнуть, и никогда не будет путаницы.

specialist в сообщении #1242753 писал(а):
Не раз читал на этом форуме, что вроде как уравнения Максвелла нарушают третий закон Ньютона. Тут я так и не понял с какой стороны подходить, ясно что тут скорее всего о силе Лоренца, о том как поле воздействует на заряженные тела или движущиеся, но как правильно интерпретировать так чтобы 3 закон Ньютона нарушился я не знаю.

Можно рассмотреть два заряда, движущихся в перпендикулярных направлениях (как буква Т), и посчитать их силы друг на друга.

Также см. Фейнмановские лекции по физике.

specialist в сообщении #1242753 писал(а):
Природа силы Ампера - релятивистская?

Разумеется. 4-сила на частицу $q F_{\mu\nu}u^\nu.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Про векторы, тензоры, ЭМ поле и третий закон Ньютона
Сообщение24.08.2017, 18:10 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
specialist в сообщении #1242753 писал(а):
Природа силы Ампера - релятивистская? просто если написать $ \bar{F} = q [ \bar{v} , \bar{B}]  $, возникает соблазн что $ [ \bar{v} , \bar{B}] $ - это электрическое поле просто в другой СО. Ну вообще я наверно не прав, но ваше подтверждение не помешало бы.


Ну почему неправ, так и есть: это электрическое поле в другой СО. При переходе между движущимися друг относительно друга СО электрическое и магнитное поле НЕ ПРЕОБРАЗУЮТСЯ как векторы, они вообще в ТАКОМ контексте не являются векторами. Только по отношению к 3-вращениям!

 Профиль  
                  
 
 Re: Про векторы, тензоры, ЭМ поле и третий закон Ньютона
Сообщение24.08.2017, 20:28 


18/11/10
381
Мюнхен
specialist в сообщении #1242753 писал(а):
Природа силы Ампера - релятивистская?

Да, несомненно релятивисткая!

 Профиль  
                  
 
 Re: Про векторы, тензоры, ЭМ поле и третий закон Ньютона
Сообщение24.08.2017, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Не знаю, насколько это поможет ТС, но можно сослаться на то, что частица со спином 1 (а таковой фотон - квант электромагнитного поля) "содержится" в двух представлениях группы Лоренца: $(1/2,1/2)$ и $(1,0)\oplus (0,1)$. Первое приводит к 4-потенциалу поля, а оттуда к физическим полям (ну или просто через тензорное представление), второе - к шестикомпонентной величине со своими правилами преобразования, которые в точности воспроизводят закон преобразования физических полей. Я в своё время этим упражнением поразвлекался - мне понравилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про векторы, тензоры, ЭМ поле и третий закон Ньютона
Сообщение25.08.2017, 11:54 


18/11/10
381
Мюнхен
Если на пальцах, то можно себе представить притяжение двух параллельных проводов силой Ампера как то так, но пусть меня поправят:
Представим, что мы электроны в проводнике и течем вперед. Параллельно нам, в ту же сторону, ну и для простоты, с той же скоростью, текут электроны в параллельном проводнике. Но в то же время, на встречу нам текут положительные ионы атомов проводника, как в нашем проводе, так и в соседнем. Из за лоренцева сокращения, плотность движущихся положительных ионов в соседнем проводнике будет выше, чем для неподвижных, а плотность электронов не изменится, и мы имеем положительную прибавку к электрическому полю "нейтрального" проводника, т.е. имеем притяжение. Аналогичный механизм с отталкиванием.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group