Вопрос по Геометрии Декарта

[ulilu1372]

Естественно, если взять стороны треугольника NLM равными $\dfrac{1}{2} a$ и $b$, а значение $z$, за MO, при этом NO $=\frac{1}{2} a$, то из теоремы Пифагора будет следовать, что $z=\dfrac{1}{2} a + \sqrt{\frac{1}{4}aa + bb}$. Но ведь это уравнение лишь следует из построенного чертежа. Как же доказать, что искомая линия $z^2 = az + bb$ будет иметь именно такой вид?

[svv]

То, что число $z=\frac a 2+\sqrt{\frac{a^2}{4}+b^2}$ является корнем уравнения $z^2=az+b^2$, можно доказать и без чертежа. Но как великий Декарт сопоставляет одному числу $z$ линию?

[Singular]

Может быть речь о том, что линия $z$ - это парабола?

[svv]

В тексте Декарта понятно почти всё, начиная со слов «я строю». Действительно, если построить всё так, как описано, получится, что «линия $OM$», то есть длина отрезка $OM$, равна приведённому выражению. Непонятно только, как это построение вытекает из исходного уравнения $z^2=az+b^2$.

Возможно, для Декарта это построение было графическим решением квадратного уравнения, но мне оно кажется подгонкой чертежа под известный алгебраический ответ.

Мессир, извольте объясниться!

[Xaositect]

Возможно, Декарт как раз описывает известное геометрическое построение, которое применялось для решения, и объясняет, что его можно записать в виде формулы.

[Singular]

Изложу то, как мне представляется связь исходного построения с параболой.

Выше писали, что $\left|OM\right|=z=\frac{a}{2}+\sqrt{\frac{a^2}{4}+b^2}$. Проведём окружность через т. $M$ с центром в т.$N$.

Очевидно, что $\left|LS\right|=\left|KR\right|=\left|OM\right|=z$. Три точки $K$, $M$ и $S$ определяют параболу.

На сторонах исходного треугольника $NLM$ введём систему координат $zy$.

Во введённых координатах парабола описывается выражением $\left(\frac{y}{b}\right)=\left(\frac{z}{b}\right)^2-\left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{z}{b}\right)-1$, корни которого определяются вышеприведённым уравнением $z^2=az+b^2$. Значения корней $z_{1,2}=\frac{a}{2}\pm\sqrt{\frac{a^2}{4}+b^2}$ графически представляются точками $S$ и $K$ соответственно.