О дельта-функции.

[misha.physics]

(Вопросы выделил жирным шрифтом)

Здравствуйте. В книге Зельдовича "Высшая математика для начинающих физиков и техников" есть пример:
$y=\left\{ \begin{array}{rcl} &-x^2; x<1& \\ &x^2; x>1& \\ \end{array} \right.$,
и
$y'=\left\{ \begin{array}{rcl} &-2x; x<1& \\ &2x; x>1& \\ \end{array} \right.$,
"Разрыву соответствует значение $y'=4\delta(x-1)$ производной."
Откуда мы это взяли? Я понимаю, что в точке x=1 производная бесконечна, но что характеризирует число "4"? И если говориться "разрыву соответствует" то речь идет о точке x=1? Тогда почему здесь есть x, а не подставленное значение x=1. Тогда получается бесконечность...
"Можно писать также:"
$y'=\varphi(x)+4\delta(x-1)$,
где $\varphi(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} &-2x; x<1& \\ &2x; x>1& \\ \end{array} \right.$
Эта запись для производной описывает точку x=1 или нет?
У меня 2 варианта:
1) Да. Но эта точка не входит ни в одно неравенство, почему? Или это значит, что для $x=1$ можно брать любую $\varphi(x)$? Но мы не получим $y'(1)=4\delta(x-1)$ как писало выше (разве что положить $\varphi(1)=0$, но это вряд ли :)).
2) Нет, не описывает. Это выражение для всех точек кроме $x=1$. Но зачем тогда здесь дельта-функция? Ведь получиться просто $y'=\varphi(x)$.

И ещё один вопрос о $\delta(x)$:
$I(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}\delta(t)dt$.
Я понимаю, что $I(x<0)=0$, а $I(x>0)=1$. Значит при $x=0$ функция $I(x)$ не определена? Правильно ли формальное равенство:
$\int\limits_{-a}^{0}\delta(t)dt=\int\limits_{0}^{b}\delta(t)dt$ где $a, b>0$? Видел здесь где-то, что можно доопределить значением $1/2$.

Эсли возможно, объясните как студенту-физику.

[Metford]

misha.physics в сообщении #1241926 писал(а):

что характеризирует число "4"?

Скачок функции в этой точке. Собственно, ради чего всё и делалось. "Обычная" производная в таких точках не существует. Если же привлекать обобщённые функции - пожалуйста.
Я плохо помню содержание книги, которую Вы назвали. Но мне помнится, что в книге Зельдовича и Мышкиса "Элементы прикладной математики" про дельта-функцию вполне понятно написано. Возможно, Мышкис как профессиональный математик добавил ясности в изложение. Хотя не исключаю, что текст мог просто перекочевать из книги в книгу.

Upd. И, конечно, там не 4 должно быть - правильно заметили ниже. Могу сказать, что меня сбил вид функции $\varphi(x)$ - захотелось её продифференцировать. Возможно, а не оказался первым

[Munin]

misha.physics в сообщении #1241926 писал(а):

В книге Зельдовича "Высшая математика для начинающих физиков и техников"

Зельдовича-Яглома. Чтобы не путать с более ранним вариантом этой книги, который написал один Зельдович, и который менее удачен.

misha.physics в сообщении #1241926 писал(а):

Откуда мы это взяли? Я понимаю, что в точке x=1 производная бесконечна, но что характеризирует число "4"?

Величину скачка, который совершает в этой точке первообразная.

Пример странный. У меня получается $2\delta(x-1).$ А четвёрка возникает только во второй производной. Подозреваю, это ошибка авторов.

misha.physics в сообщении #1241926 писал(а):

И если говориться "разрыву соответствует" то речь идет о точке x=1? Тогда почему здесь есть x, а не подставленное значение x=1.

Подставленное куда?

Вам надо перестать думать, будто "функции - это числа (в отдельных точках)". Для работы в матанализе, надо считать, что функции - это отдельный самостоятельный объект.

misha.physics в сообщении #1241926 писал(а):

"Можно писать также:"
$y'=\varphi(x)+4\delta(x-1)$,
где $\varphi(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} &-2x; x<1& \\ &2x; x>1& \\ \end{array} \right.$
Эта запись для производной описывает точку $x=1$ или нет?

Да. В точке $x=1$ второе слагаемое даёт бесконечность, и любое конечное значение $\varphi(x)$ просто не играло бы никакой роли. Хотя, конечно, запись не вполне аккуратна, но для любых практических целей - вполне понятна и достаточна.

misha.physics в сообщении #1241926 писал(а):

И ещё один вопрос о $\delta(x)$:
$I(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}\delta(t)dt$.
Я понимаю, что $I(x<0)=0$, а $I(x>0)=1$. Значит при $x=0$ функция $I(x)$ не определена?

Да.

[Mikhail_K]

misha.physics в сообщении #1241926 писал(а):

Откуда мы это взяли?

По всей видимости, в учебнике опечатка, нужно $\varphi(x)+2\delta(x-1)$. Здесь $2$ - это величина скачка исходной разрывной функции в точке $x=1$. Зачем нужен этот коэффициент - в этой книге, вроде бы, объясняется так: чтобы выполнялась формула Ньютона-Лейбница, например при интегрировании такой производной от $0$ до $2$. Найдите интеграл от этой производной двумя способами: через известную первообразную (ту самую исходную разрывную функцию) и интегрируя саму дельта-функцию по известной формуле - увидите что ответы совпадут, именно благодаря коэффициенту $2$.

misha.physics в сообщении #1241926 писал(а):

Эта запись для производной описывает точку x=1 или нет?

Не знаю, как это объясняется "начинающим физикам и техникам", но вообще-то, у обобщённых функций нет такого понятия, как "значение в точке". Поэтому можно написать, что производная (как целое) равна $\varphi(x)+4\delta(x-1)$, но нет смысла спрашивать, чему равно значение этой производной в одной конкретной точке $x=1$.

misha.physics в сообщении #1241926 писал(а):

Но эта точка не входит ни в одно неравенство, почему? Или это значит, что для $x=1$ можно брать любую $\varphi(x)$?

Если обобщённая функция задаётся с помощью "обычной" функции, как вот эта $\varphi(x)$, то её следует считать определённой с точностью до множества меры нуль. Другими словами, эту $\varphi(x)$ можно произвольным образом изменить в одной точке, или в двух точках, или в миллионе отдельных точек, или даже в бесконечном количестве точек (если эти точки образуют множество меры нуль!) - и всё равно мы будем считать эту функцию той же самой. Понятно, что тогда в одной точке значение функции можно просто не задавать, оно не важно.

[Munin]

Metford в сообщении #1241928 писал(а):

Но мне помнится, что в книге Зельдовича и Мышкиса "Элементы прикладной математики" про дельта-функцию вполне понятно написано. Возможно, Мышкис как профессиональный математик добавил ясности в изложение.

Это про пару книг
Зельдович. Высшая математика для начинающих и её приложения к физике. 2-е изд. - 1963.
Зельдович, Яглом. Высшая математика для начинающих физиков и техников. 1982.
Именно Яглом известен как соавтор-математик, улучшивший предыдущую книгу Зельдовича. И это в явном виде написано в предисловии ко второй книге.

-- 20.08.2017 14:23:52 --

А Зельдович-Мышкис - "продолжение" первой книги Зельдовича.

[Metford]

Munin в сообщении #1241932 писал(а):

Это про пару книг
Зельдович. Высшая математика для начинающих и её приложения к физике. 2-е изд. - 1963.
Зельдович, Яглом. Высшая математика для начинающих физиков и техников. 1982.

Понятно-понятно. Я упомянул книгу, с которой знаком гораздо лучше и которая мне больше приглянулась когда-то. И вот сейчас я бы не взялся отделить, что там принадлежит Мышкису, а что - Яглому.

[misha.physics]

Спасибо всем за помощь. Стало понятнее.

Я подозревал, что вместо "4" должно быть "2", но не думал что у авторов ошибка. Да, теперь роль этого коэффициента понятна, при интегрировании получиться исходная функция.
Наибольше меня смутило выражение "Разрыву соответствует значение $y'=2\delta(x-1)$ производной."
а) Раз здесь есть $x$, то я думал, что надо писать не "разрыву" (под значением разрыва я понимал $y'(1)=+\infty$) а "функции".
b) И не понял, почему $y'=2\delta(x-1)$, а не $y'=\varphi(x)+2\delta(x-1)$.
"b"- проблема, и то, что неравенства не включали единицу, действительно может свидетельствовать, что авторы имели ввиду, что $\varphi(x)$ может быть любой, по сравнению с $\delta(1-1)=+\infty$? Думаю, без этих объяснений в книге это немного затрудняет понимание изложения.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1241939 писал(а):

Наибольше меня смутило выражение "Разрыву соответствует значение $y'=2\delta(x-1)$ производной."
а) Раз здесь есть $x$, то я думал, что надо писать не "разрыву" (под значением разрыва я понимал $y'(1)=+\infty$) а "функции".

Не всей функции, а именно разрыву в функции (аккуратно говоря, разрыву функции в точке).

[Mikhail_K]

misha.physics в сообщении #1241939 писал(а):

Наибольше меня смутило выражение "Разрыву соответствует значение $y'=2\delta(x-1)$ производной."

Вероятно, авторы хотели сказать "разрыву соответствует слагаемое $2\delta(x-1)$ в производной". Производная действительно $\varphi(x)+2\delta(x-1)$. Эта производная задана как целое; нет смысла говорить о значении этой производной в одной конкретной точке $x=1$ (поэтому мы и не обязаны задавать $\varphi(x)$ в этой точке). Более того, мы вполне могли бы $\varphi(x)$ не определять и ещё в каких-то отдельных точках, например в $x=0$, $x=2.5$. Или наоборот - определить и в точке $x=1$, и ещё в нескольких - каким угодно способом. Всё равно на результат интегрирования не повлияют значения функции в нескольких отдельных точках.

-- 20.08.2017, 15:19 --

Обобщённая функция - это такая штука, которую можно интегрировать (с некоторыми уточнениями), но нельзя вычислять значение этой функции в одной конкретной точке.