2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Максимизирующий функционал p(x)
Сообщение14.08.2017, 22:21 


14/08/17
19
Всем привет!

Задача на нахождение максимизирующего функционала, с какого бока подступиться, так и не понял, возможно кто-то поможет понять как ее решить:

Найти функцию p(x), максимизирующую функционал

$\left( p \right) = \int\limits_{0}^{ \infty } e^{\frac{ (x-4)^{2} - (x+4)^2}{ 4 }}\ln{p(x)} dx$

при ограничениях $p(x) > 0$ , $\int\limits_{0}^{\infty} p(x) dx = 1$


Вычислить достигнутое значение функционала.

Тема: Метод максимального правдоподобия

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизирующий функционал p(x)
Сообщение15.08.2017, 02:52 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
kps
А у Вас там минус в показателе не потерялся?
(А то упрощается ведь. И ММП как то сбоку тогда)
Если нет, то:
ответ, видимо, $4e^{-4x}$.
И надо смотреть на неравенство Рао-Крамера, и его вывод, может, на эффективность - там где то должно быть....

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизирующий функционал p(x)
Сообщение15.08.2017, 18:24 


16/06/14
96
Сначала упростим экспоненту до $e^{-4x}$.

Вариационное исчисление говорит, что для некоторого $\lambda\in\mathbb{R}$ экстремаль будет решением уравнения
$\frac{\partial (e^{-4x}p)}{\partial p} + \lambda\frac{\partial (p)}{\partial p} = 0$,
откуда и найдёте указанный DeBill ответ.
Только убедитесь, что это действительно максимум.

Хотите - проверьте сами по рабоче-крестьянски, что будет, если к $p$ прибавитьь функцию вида $1_{[t,t+\delta]} - 1_{[s,s+\delta]}$ для каких-нибудь $t,s>0$. Только если от $p$ мы требуем лишь интегрируемости, придётся быть аккуратными с условием $p>0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизирующий функционал p(x)
Сообщение15.08.2017, 23:56 


14/08/17
19
Я посмотрел тему вариационных исчислений, а точнее уравнение Эйлера Логранжа.
Насколько я понимаю, если у нас есть интегральный функционал, например (для простоты)
I(p) = \int\limits_{a}^{b} L(x, p,p')dx;
Нам необходимо найти вариационную производную в точке ноль
J(t) = I(p+ \delta t)=\int\limits_{a}^{b} L(x,p+\delta t, p'+\delta' t)dx;
J'(t) = \frac{d}{d t} I(p+ \delta t)\left.{ }\right|_{ t=0 } =\int\limits_{a}^{b}( \frac{d L}{d p} - \frac{d}{d x}(\frac{d L}{d p'} ) )\delta dx=0;
\delta (a) = \delta (b) = 0;
поскольку \delta не равно нулю, получаем наше уравнение Эйлера Логранжа:
\frac{d L}{d p} - \frac{d}{d x}(\frac{d L}{d p'}) = 0
_______________________________________________________________
Итак, теперь к нашей задаче, упростим функционал и получим:
I(p)=\int\limits_{0}^{\infty} e^{-4x}\ln{p(x)} dx;
значит L = e^{-4x}\ln{p(x)}
воспользуемся уравнением Эйлера Логранжа
\frac{d L}{d p} = e^{-4x}\frac{ 1 }{ p(x) }p'(x)=0;
так как по условию p(x)>0; \Rightarrow e^{-4x}p'(x)=0
поскольку e^{-4x}>0 \Rightarrow p'(x)=0 \Rightarrow p(x)=const
отсюда \int\limits_{0}^{\infty} e^{-4x}C dx = -\frac{ C }{ 4 } e^{-4x}\left.{ }\right|_{ 0 }^{ \infty } = \frac{ C }{ 4 }
_______________________________________________________________
Где же ошибка в рассуждениях?
И зачем по условию дан \int\limits_{0}^{\infty} p(x)dx=1?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизирующий функционал p(x)
Сообщение16.08.2017, 01:34 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
kps
1.Неправильно найдена производная: в знаменателе надо $p(x)$
2. Это - задача с ограничениями (интеграл от $p$ минус 1 равно 0 ), решать надо "по Лагранжу": домножить ограничение на лямбду, и сложить с минимизируемой функцией, и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизирующий функционал p(x)
Сообщение16.08.2017, 01:35 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
kps в сообщении #1240956 писал(а):
И зачем по условию дан $\int\limits_{0}^{\infty} p(x)dx=1$?
Правильно сделали, что спросили, без этого невозможно осмысленно решать.
Какую бы функцию $p_1(x)$ Вы ни взяли, я возьму $p_2(x)>p_1(x)$ и получу ещё большее значение исходного функционала. То есть максимального значения не существует.

С ограничением всё сразу становится намного хитрей.

-- Ср авг 16, 2017 01:53:38 --

Да, ещё фамилия учёного Лагранж, а не Логранж.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизирующий функционал p(x)
Сообщение16.08.2017, 19:09 


14/08/17
19
Посмотрел тему Вариационные задачи на условный экстремум и вот что получилось:
Полезные ссылки:
* http://nikolay-d-kopachevsky.com/IGSE.pdf
* http://portal.tpu.ru:7777/SHARED/k/KONV ... /01-13.htm
* http://alnam.ru/book_ads.php?id=16
_________________________________________________________________
Немного теории (на память):
Пусть дан функционал
$I(p)=\int\limits_{a}^{b} F(x,p,p')dx$

И дано дополнительное условие, которое ограничивает наш функционал
$K(p)=\int\limits_{a}^{b} G(x,p,p')dx=l$

Тогда, запишем
$\widetilde{I}(p)=I(p)+ \lambda K(p)=\int\limits_{a}^{b} H(x,p,p')dx$
$H(x,p,p')= F(x,p,p')+ \lambda G(x,p,p')$

Запишем уравнение Эйлера
$\frac{d \widetilde{I}(p)}{d y} =H'_{p}-\frac{d}{d x}H'_{p'}=0$
_________________________________________________________________
Теперь к нашей задаче
$I(p)=\int\limits_{0}^{ \infty}e^{-4x} \ln{p(x)}dx$
$K(p)=\int\limits_{0}^{\infty} p(x)dx=1$

Запишем функционал в виде:
$\widetilde{I}(p)=\int\limits_{0}^{ \infty}e^{-4x} \ln{p(x)}dx+ \lambda \int\limits_{0}^{\infty} p(x)dx+1$

Следовательно:
$F(x,p)=e^{-4x} \ln{p(x)}$
$G(x,p)=p(x)$
$H(x,p)=e^{-4x} \ln{p(x)}+ \lambda p(x)$

Запишем уравнение Эйлера
$\frac{d \widetilde{I}(p)}{d y} =H'_{p}=\frac{ e^{-4x} }{ p } + \lambda =0$ $\Rightarrow p=-\frac{ e^{-4x} }{ \lambda }$

Найдем $\lambda$ из дополнительного условия
$\int\limits_{0}^{\infty} -\frac{ 1 }{ \lambda }e^{-4x}dx=1; \Rightarrow  \lambda =-\frac{ 1 }{ 4 }$

Отсюда $p(x)=4e^{-4x}$

Значение функционала равно
$I(p)=\int\limits_{0}^{\infty}e^{-4x}\ln{4e^{-4x}}  dx=\frac{ 1 }{ 4 } (\ln{4}-1 )$

Для проверки, что мы нашли максимум, найдем 2ю производную
$H''_{p}=-\frac{ e^{-4x} }{ p^{2} } =-\frac{ e^{4x}  }{ 16 }$ $\Rightarrow$ 2я производная меньше нуля на всем

промежутке, значит мы нашли максимум

Как-то так получилось.
Возможно у кого-то будут замечания

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизирующий функционал p(x)
Сообщение16.08.2017, 23:52 


16/06/14
96
Для очистки совести можно добавить, что найденное $p$ везде положительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизирующий функционал p(x)
Сообщение17.08.2017, 16:15 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Чтобы гарантировать $p(x)>0$, можно заменить $p(x)=e^{y(x)}$ и искать $y(x)$. Тогда, в Ваших обозначениях,
$F(x, y)=e^{-4x}y$
$H(x, y,\lambda)=e^{-4x}y+\lambda e^{y}$
kps в сообщении #1241131 писал(а):
$\widetilde{I}(p)=\int\limits_{0}^{ \infty}e^{-4x} \ln{p(x)}dx+ \lambda \int\limits_{0}^{\infty} p(x)dx+1$
Если бы слагаемого $+1$ не было (наилучший вариант), я бы понял. Если бы вместо него было $-\lambda$, тоже было бы понятно. Но $+1$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимизирующий функционал p(x)
Сообщение18.08.2017, 22:28 


14/08/17
19
svv в сообщении #1241321 писал(а):
Если бы слагаемого $+1$ не было (наилучший вариант), я бы понял. Если бы вместо него было $-\lambda$, тоже было бы понятно. Но $+1$ ?

Конечно же это ошибка, спасибо!

Всем большое спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group