2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дивергенция тензора.
Сообщение15.08.2017, 16:39 


06/06/11
60
Здравствуйте. У меня такой вопрос правильно ли я рассписываю некоторое выражение, к сожалению, я не очень уверен в своих знаниях.

$$\nabla \cdot (\rho\cdot(\vec{v}\vec{v}))$$

Соостветственно тут ($\vec{v}\vec{v}$) - тензорное произведение, кажется оно еще называется внешним, в результате дает тензор. Могу ли я сделать так:

$$\nabla \cdot ((\rho\cdot\vec{v})\vec{v})$$

Поидее тензор останется тем же самым, и к нему можно будет применить такую вот формулу:


$$\operatorname{div}(\vec{a}\otimes\vec{b})=(\vec{a}\cdot\nabla)\vec{b}+\vec{b}\operatorname{div}(\vec{a})$$

Меня эта запись смущает, я попытаюсь тут сейчас аккуратно расписать:

$$(\vec{a}\cdot\nabla) = a_x\cdot\frac{\partial}{\partial x} + a_y\cdot\frac{\partial}{\partial y} + a_z\cdot\frac{\partial}{\partial z}$$ ну судя по тому, что оператор стоит справа то он не действует на поле, а в результате получится вот такой вот скаляр, верно?

Далее он действует на вектор $\vec{b}$ тогда получается:

$$\begin{pmatrix} 
 a_x\cdot\frac{\partial b_x }{\partial x} + a_y\cdot\frac{\partial b_x}{\partial y} + a_z\cdot\frac{\partial b_x}{\partial z}\\
a_x\cdot\frac{\partial b_y }{\partial x} + a_y\cdot\frac{\partial b_y}{\partial y} + a_z\cdot\frac{\partial b_y}{\partial z}\\
a_x\cdot\frac{\partial b_z }{\partial x} + a_y\cdot\frac{\partial b_z}{\partial y} + a_z\cdot\frac{\partial b_z}{\partial z}\\
\end{pmatrix}
$$

Если вернуть исходные обозначения то получится следующее:

$$
\begin{pmatrix} 
 \rho v_x\cdot\frac{\partial v_x }{\partial x} +\rho  v_y\cdot\frac{\partial v_x}{\partial y} +\rho  v_z\cdot\frac{\partial v_x}{\partial z}\\
\rho v_x\cdot\frac{\partial v_y }{\partial x} + \rho v_y\cdot\frac{\partial v_y}{\partial y} + \rho v_z\cdot\frac{\partial v_y}{\partial z}\\
\rho v_x\cdot\frac{\partial v_z }{\partial x} + \rho v_y\cdot\frac{\partial v_z}{\partial y} + \rho v_z\cdot\frac{\partial v_z}{\partial z}\\
\end{pmatrix}
$$

Верно?

теперь второе слагаемое:

$$\vec{b}\operatorname{div}(\vec{a}) = \vec{v} \cdot (\rho \operatorname{div}(\vec{v})+\vec{v}\cdot\operatorname{grad}(\rho)) $$

Итого:

$$\nabla \cdot (\rho\cdot(\vec{v}\vec{v})) =((\vec{\rho v}\cdot\nabla)\vec{v}) + \vec{v} \cdot (\rho \operatorname{div}(\vec{v})+\vec{v}\cdot\operatorname{grad}(\rho)) $$
Я нигде не напутал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дивергенция тензора.
Сообщение15.08.2017, 17:08 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Firth в сообщении #1240857 писал(а):
тензорное произведение, кажется оно еще называется внешним
Внешнее — другое.

Вообще знаки операций тензорного или внешнего произведения обычно не опускаются, чтобы путаницы было меньше.

Дальше, если дивергенцию (тензора, не являющегося вектором) попробовать понимать как формальное скалярное произведение $\nabla$ на операнд, непонятно, как вы определили это произведение для вектора $u$ и тензора второго ранга $T$, тут может быть две возможности, видимые, если попробовать записать в индексах: $g_{ij}u^iT^{jk}$ и $g_{ij}u^iT^{kj}$. В первом случае, если учесть $T^{ij} = \rho v^iv^j$, получаем $$g_{ij}\partial^i(\rho v^jv^k) = g_{ij}(v^jv^k \,\partial^i\rho + \rho v^k \,\partial^iv^j + \rho v^j \,\partial^iv^k) = (\mathbf v\cdot\operatorname{grad}\rho)\mathbf v + \rho\mathbf v(\operatorname{div}\mathbf v) + \rho(\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v$$(т. е. вы забыли $\mathbf v$ в самом конце). Во втором случае получится то же самое лишь из-за симметричности $T$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дивергенция тензора.
Сообщение15.08.2017, 17:36 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Если вы хотите посчитать что-то про тензоры, но подозреваете у себя недостаток научных знаний -- считайте в координатах.

По поводу обозначений: точкой удобно обозначать свёртку, а если свёртки нет, то точку не писать. Тензорное произведение при этом обозначается $\otimes$, а умножение тензора на скаляр -- пустым знаком, причём в этом случае скалярный множитель обычно пишут слева от тензорного.

Расписываем исходное, то есть, немного поправляя ваши обозначения, $\nabla \cdot (\rho \, v \otimes v)$. По какому индексу тут свёртка, по первому или по второму, из обозначений неясно, но тензор симметрический, так что это всё равно. Будем считать, что свёртка по второму:
$(\rho v^i v^j)_{,j}=\rho_{,j}v^i v^j+\rho v^i_{,j}v^j+\rho v^i v^j_{,j}$.

Расписываем то, что у вас получилось; подправляя обозначения, это $\big(\rho \, (v\cdot\nabla)\big)\,v+\big(\rho\,(\nabla\cdot v)+v\cdot(\nabla\rho)\big)\,v$. Получаем:
$\rho v^j v^i_{,j}+\rho v^j_{,j}v^i + v^j\rho_{,j}v^i$.

Получилось то же самое. Значит, вы посчитали правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дивергенция тензора.
Сообщение15.08.2017, 17:42 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ой, я скобку не разглядел. :facepalm: Действительно, там никаких $\mathbf v$ не потеряно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дивергенция тензора.
Сообщение15.08.2017, 17:43 


06/06/11
60
Спасибо большое за ответы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дивергенция тензора.
Сообщение15.08.2017, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377

(Оффтоп)

Блин, всю жизнь думал, что при помощи музыкальных изоморфизмов кодифференциал с комплекса де Рама превращается в $\operatorname{div}$ на комплексе мультивекторных полей, а сейчас что-то не соображу - как это можно взять кодифференциал от чего-то, что не является дифференциальной формой, а является просто формой?

А, понял, превращается в оператор на $k$-векторах в смысле сечениях $k$-ой внешней (не тензорной) степени касательного расслоения. А жаль.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group