2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Скалярное произведение функции на многочлен
Сообщение12.08.2017, 11:18 


29/12/15
18
Существует ли такая $f  \in C[-1, +1]$, что $\left\langle P(x), f \right\rangle = 0$ для любого многочлена $P(x)$ с нулевым свободным членом? Если не существует, то тот же вопрос для интегрируемой $f$.
Скалярное произведение функций определяется как $\left\langle f, g \right\rangle = \int \limits_{-1}^{+1}f\cdot g dx$
Для непрерывной я уверен в отрицательном ответе, потому как можно приближать любую нужную нам функцию на отрезке $[-1, +1]$ многочленами, но строгие рассуждения не поддаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение функции на многочлен
Сообщение12.08.2017, 11:38 


27/08/16
9426
$f(x)\equiv 0$?

Про какие-то условия на $f$ вы забыли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение функции на многочлен
Сообщение12.08.2017, 13:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ribin в сообщении #1240201 писал(а):
можно приближать любую нужную нам функцию на отрезке $[-1, +1]$ многочленами, но строгие рассуждения не поддаются.

Дело в том, что множество всех многочленов с нулевым свободным членом -- линейно. Ортогональность какой-то функции к линейному множеству равносильно ортогональности к его замыканию. В это замыкание входят (как Вы заметили, хоть и не совсем внятно), во всяком случае, все непрерывные функции, равные нулю в нуле. Остаётся единственный вопрос: что из себя представляет ортогональное дополнение к таким функциям?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение функции на многочлен
Сообщение12.08.2017, 15:36 


29/12/15
18
realeugene в сообщении #1240215 писал(а):
$f(x)\equiv 0$?

Да, тождественный ноль интереса не представляет)
ewert в сообщении #1240248 писал(а):
Остаётся единственный вопрос: что из себя представляет ортогональное дополнение к таким функциям?..

Если предположить, что там содержится отличная от нуля непрерывная $g$, то взяв $h = g$ вне $O_{\varepsilon}(0)$, и линейно спадающей/возрастающей до $0$ в $O_{\varepsilon}(0)$ получим, что $g = 0$ есть тождественный ноль. Иначе интеграл положителен для некоторого $\varepsilon$
Не уверен, что вы такой подход имели ввиду)

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение функции на многочлен
Сообщение12.08.2017, 15:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Теперь дело уже вовсе не в непрерывности искомой функции. Сформулируем ровно тот же вопрос другими словами: что представляет из себя замыкание множества непрерывных функций, зафиксированных только в одной точке, в $L_2([-1;1])$ ?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение функции на многочлен
Сообщение13.08.2017, 09:20 


29/12/15
18
Замыкание даёт само $L_{2}[-1; +1]$. Поэтому такой ненулевой $f$ нет не только среди непрерывных или интегрируемых, но и среди всего $L_{2}[-1; +1]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение функции на многочлен
Сообщение13.08.2017, 21:33 


29/12/15
18
Однако, я помню следующую конструкцию.
Давайте определим $f_{n}$ на отрезке [-1; +1] следующим образом:
Разобъём отрезок [-1; +1] на $2^{n}$ одинаковых отрезков, на первых $C^{0}_{n}$ частях положим $f_{n}$ равной $+1$, на следующих $C^{1}_{n}$ равной -1 и т.д. чередуя знаки.
Известный факт: $f_{n}$ ортогональна любому многочлену степени не выше $n$. $f_{n} \in L_{2} \Rightarrow \lim f_{n} = F \in L_{2}$ ортогональна любому многочлену. Где я запутался?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение функции на многочлен
Сообщение13.08.2017, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Ribin в сообщении #1240411 писал(а):
$f_{n} \in L_{2} \Rightarrow \lim f_{n} = F \in L_{2}$ ... Где я запутался?
Как Вы аргументируете сходимость этой последовательности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение функции на многочлен
Сообщение14.08.2017, 19:17 


29/12/15
18
grizzly в сообщении #1240413 писал(а):
Как Вы аргументируете сходимость этой последовательности?
Думаю, никак

(Оффтоп)

За совсем глупые вопросы извините, только-только поступил на 1ый курс

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение функции на многочлен
Сообщение14.08.2017, 20:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Ribin в сообщении #1240603 писал(а):
только-только поступил на 1ый курс
Поздравляем!
Ribin в сообщении #1240603 писал(а):
За совсем глупые вопросы извините
Ничего, правильные вопросы. Заходите почаще :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group