2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Метод Кардано и Mathcad
Сообщение12.08.2017, 17:23 


12/08/17
8
Использовал Mathcad 15

Кубическое уравнение
$a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x +a_0 = 0$ (1)
Делаю подстановку $x = y - \frac{a_2}{3a_3}$ получаю уравнение
$y^3 + qy + p = 0$ (2)
- это уравнение подстановкой $y = t - \frac{p}{3t}$ привожу к виду
$t^6 + qt^3 + \frac{p^3}{27}$ (3)
где $t^3 = w$
И затем решаю уравнение $w^2 + qw +  \frac{p^3}{27}$ (4)
в Mathcad
1. по формуле $w_{1,2} = \frac{- q}{2} \pm \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}$
2. с помощью оператора solve

Оба результата совпадают, корни $w_{1,2}$ комплексно сопряжённые, подставляя их в (4) получаю ноль. Далее в Mathcad по формуле Муавра извлекаю кубические корни из $w_1$ и $w_2$, получаю два вектора $T1$ и $T2$, вектор $T1$ содержит по три корня уравнения (3) комплексно сопряжённые к корням вектора $T2$.
Так как подстановка $y = t - \frac{p}{3t}$ приводится к виду $y = \sqrt[3]{\frac{- q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{- q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}$, это значит что элементы из векторов $T1$ и $T2$ я должен, комбинируя друг с другом и складывая, подставить в уравнение (2) и узнать какой из корней обнулит его. Так и делаю, из 9 сумм $y_n = T1_i + T2_j$ только одна является корнем уравнения (2), вышло что суммирую два комплексно сопряжённых корня и получаю один действительный.

Этот один действительный корень $y_1$ уравнения (2) я с помощью подстановки $x_1 = y_1 - \frac{a_2}{3a_3}$ подставляю в уравнение (1) и.... оно не равно нулю... а равно ненулевому остатку от деления уравнения (1) по схеме Горнера на двучлен $x - x_1$. Почему ?

И все 9 выше указанных псевдо-корней $x_n = y_n - \frac{a_2}{3a_3}$ тоже не обнуляют уравнение (1)... Точность вычислений поставил на максимум (307 знаков), значит ни один из коэффициентов не обнуляется... Что же не так делаю, где ошибка ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Кардано и Mathcad
Сообщение12.08.2017, 18:03 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
11343
Кронштадт
DEP в сообщении #1240270 писал(а):
Точность вычислений поставил на максимум (307 знаков)
Так Вы решаете уравнение в общем виде или с какими-то конкретными значениями коэффициентов? Если второе - приведите их, найденные корни и значения многочлена в этих точках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Кардано и Mathcad
Сообщение12.08.2017, 20:10 


12/08/17
8
Pphantom в сообщении #1240279 писал(а):
Так Вы решаете уравнение в общем виде или с какими-то конкретными значениями коэффициентов? Если второе - приведите их, найденные корни и значения многочлена в этих точках.
Пытаюсь посчитать колебательный переходный процесс в RLC цепи 3-го порядка.

$a_3 = 3.48\cdot10^{-18} , a_2 = 1.76\cdot10^{-12} , a_1 = -1.54\cdot10^{-6} , a_0 = 0.09$
$p = -5.278\cdot10^{11} , q = 1.100468425\cdot10^{17}$

Кажется разобрался, наверное из-за очень больших и коэфициентов p и q внутри Mathcad происходит странное округление промежуточных результатов, и подстановка корня в уравнение даёт не ноль а что-то вида 736+170.660833i и это меня сбивало с толку.

Получилось 3 действительных корня, как и через оператор solve, но отличаются в каком-то десятом знаке, и вот...

Осталось понять как получить комплексные корни, тоесть какие нужно сделать манипуляции с коэфициентами кубического уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Кардано и Mathcad
Сообщение12.08.2017, 20:51 
Заслуженный участник


23/07/08
7188
Харьков
DEP в сообщении #1240299 писал(а):
$a_3 = 3.48\cdot10^{-18} , a_2 = 1.76\cdot10^{-12} , a_1 = -1.54\cdot10^{-6} , a_0 = 0.09$
$p = -5.278\cdot10^{11} , q = 1.100468425\cdot10^{17}$

Кажется разобрался, наверное из-за очень больших коэфициентов $p$ и $q$ внутри Mathcad происходит странное округление промежуточных результатов
В данном случае напрашивается подстановка $x=10^6 z$. Уравнение для $z$ будет иметь вид
$3.48z^3+1.76z^2-1.54z+0.09=0$
Совсем другое дело, правда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Кардано и Mathcad
Сообщение12.08.2017, 20:54 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
11343
Кронштадт
DEP в сообщении #1240299 писал(а):
Кажется разобрался, наверное из-за очень больших и коэфициентов p и q внутри Mathcad происходит странное округление промежуточных результатов
Именно. Рецепт борьбы уже предложил svv.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Кардано и Mathcad
Сообщение12.08.2017, 20:55 
Экс-модератор


12/07/07
3168
Донецк, Украина
DEP в сообщении #1240299 писал(а):
Осталось понять как получить комплексные корни, то есть какие нужно сделать манипуляции с коэффициентами кубического уравнения.
Кубическое уравнение имеет три корня. Если три корня действительные, то ещё какие-то комплексные найти невозможно.

Mathcad 13 (символьный движок под Maple) ищет решения данного уравнения корректно (см. картинку)
Mathcad 15 (символьный движок MuPAD) сейчас нет под рукой.

-- Сб 12.08.2017 20:00:39 --

Найденные в Maple 7.0 корни (Digits=32)
Код:
-982797.21044809201225727922804280, 63655.263354112093488703161062167, 413394.82065719830957317376813005


Вложения:
Комментарий к файлу: Пример поска корней кубического многочлена (P) и проверки подстановкой в P
MathCAD13_solve.PNG
MathCAD13_solve.PNG [ 10.33 Кб | Просмотров: 356 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Кардано и Mathcad
Сообщение12.08.2017, 21:33 


12/08/17
8
svv в сообщении #1240305 писал(а):
В данном случае напрашивается подстановка $x=10^6 z$. Уравнение для $z$ будет иметь вид
$3.48z^3+1.76z^2-1.54z+0.09=0$
Совсем другое дело, правда?

Спасибо, проверю.
GAA в сообщении #1240308 писал(а):
Кубическое уравнение имеет три корня. Если три корня действительные, то ещё какие-то комплексные найти невозможно.

Вобщем разобрался, чтобы у кубического уравнения было 2 комплексно сопряжённых корня - дискриминант уравнения (4) должен быть >0, тоесть по Формуле Муавра кубические корни из действительных $w_{1,2}$ не будут взаимно комплексно сопряжёнными, и комлексность корней $y_n = T1_i + T2_j$ не уничтожится при сложении.
Решая уравнение в котором один параметр схемы переменный, я нахожу его значение при котором дискриминант равен нулю, и варьируя этим параметром легко получается дискриминант который больше нуля или меньше нуля (колебательный или апериодический преходный процесс).
Цитата:
Mathcad 13 (символьный движок под Maple) ищет решения данного уравнения корректно (см. картинку)

У меня Mathcad 15 те же корни через solve:
413394.820656943429
-982797.21044857346926
63655.263354120156558
- видно что в 6-9 знаках после запятой они не совпадают с результатом Mathcad 13, и подстановка этих корней в уравнение не даёт точный ноль а только приблизительно (наверное достаточно чтобы догадаться что это ноль)

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Кардано и Mathcad
Сообщение12.08.2017, 21:50 
Экс-модератор


12/07/07
3168
Донецк, Украина
Проверю в 15 на следующей неделе. В 13, даже используя числовой (с плавающей точкой) движок, нет необходимости в замене переменной, достаточно сменить метод (LaGuerre — выбирается по умолчанию), см. прикрепление.


Вложения:
Комментарий к файлу: Пример поиска корней кубического многочлена при помощи polyroots
MathCAD13_polyroots.PNG
MathCAD13_polyroots.PNG [ 13.69 Кб | Просмотров: 0 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Кардано и Mathcad
Сообщение12.08.2017, 23:42 


12/08/17
8
GAA в сообщении #1240317 писал(а):
Проверю в 15 на следующей неделе. В 13, даже используя числовой (с плавающей точкой) движок, нет необходимости в замене переменной, достаточно сменить метод (LaGuerre — выбирается по умолчанию), см. прикрепление.

Мне не принципиально, как говорят "инженерная точность плюс-минус 25%". Мне кажется товарищи разработчики нас не уведомляют на каком шаге итерации какого-то там численного метода поиска корня уравнения они решают завершить поиск оного корня с погрешностью не хуже или не лучше какой-то там точности представления числа с плавающей запятой. Главное начинающему, поставившему Mathcad 15 понять с кем он связался и где ноль с точностью до есть или нету.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Кардано и Mathcad
Сообщение13.08.2017, 00:07 
Экс-модератор


12/07/07
3168
Донецк, Украина
svv, в некоторых случаях замена позволяет преодолеть трудности в Mathcad, но в данном случае она не приводит к улучшению результата в 13.
В прикреплении видно, что, как и ожидается, в случае символьного движка ничего не меняется, а в случае движка с плавающей запятой возня в окрестности последней значащей цифры (порядка $1\cdot 10^{-16}$).
Где-то после замены стало лучше, где-то хуже).


Вложения:
Комментарий к файлу: Проверка полезности замены переменной в 13
MathCAD13_Polynom_Roots.PNG
MathCAD13_Polynom_Roots.PNG [ 25.42 Кб | Просмотров: 0 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Кардано и Mathcad
Сообщение13.08.2017, 01:42 
Заслуженный участник


23/07/08
7188
Харьков
Так это уже «вина» конкретных алгоритмов. Замена своё дело сделала, но если сам алгоритм неточный... (вернее, его реализация)

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Кардано и Mathcad
Сообщение13.08.2017, 02:13 
Экс-модератор


12/07/07
3168
Донецк, Украина
DEP, для алгебраических уравнений до четвертой степени включительно функция solve должна возвращать точные корни. В некоторых случаях эта функция может найти точные корни и для уравнений более высоких степеней. (Если коэффициенты — числа с плавающей точкой, то возвращается результат с плавающей точкой.)
Казалось бы, имея возможность получить корни с заданной точностью, можно найти приближенные значения невязки с заданной точностью, как например в Мaple (использована версия 7.0, но версия тут не важна).
Код:
> P:= z^5 -1: Z:= evalf[32](solve(P));
Z =
1., .30901699437494742410229341718282+.95105651629515357211643933337938*I,
-.80901699437494742410229341718282+.58778525229247312916870595463905*I,
-.80901699437494742410229341718282-.58778525229247312916870595463905*I,
.30901699437494742410229341718282-.95105651629515357211643933337938*I
> seq(eval[32](P, z=Z[k]), k=1..5);
0., -.1e-31-.77781757615511713920653428365785e-32*I,
-.6e-31+.94876071991504312973751185717278e-31*I,
-.6e-31-.94876071991504312973751185717278e-31*I,
-.1e-31+.77781757615511713920653428365785e-32*I
Для случая коэффициентов с плавающей точкой
Код:
> Digits:= 32:
> P:= z^5 -1.0: Z:= solve(P);
Z = 1., -.80901699437494742410229341718282-.58778525229247312916870595463907*I,
-.80901699437494742410229341718282+.58778525229247312916870595463907*I,
.30901699437494742410229341718282-.95105651629515357211643933337938*I,
.30901699437494742410229341718282+.95105651629515357211643933337938*I
> seq(eval[33](P, z=Z[k]), k=1..5);
0., 0.-.13972252156122383769449788012377e-31*I,
0.+.13972252156122383769449788012377e-31*I,
-.1e-31+.77781757615511713920653428365785e-32*I,
-.1e-31-.77781757615511713920653428365785e-32*I
Однако в Mathcad 13 неожиданно для меня невязка при символьном вычислении оказывается большой. См. прикрепление.


Вложения:
MathCAD13_Polynom_roots_symbolic.PNG
MathCAD13_Polynom_roots_symbolic.PNG [ 46.18 Кб | Просмотров: 0 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Кардано и Mathcad
Сообщение13.08.2017, 08:06 


12/08/17
8
GAA в сообщении #1240337 писал(а):
DEP, для алгебраических уравнений до четвертой степени включительно функция solve должна возвращать точные корни.

Я почитал справку, точность "Solve Block" контролирует системная константа CTOL, а сходимость для численных методов TOL - от неё зависит точность функции polyroots. По умолчанию они равны 0.001, но можно уменьшить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Кардано и Mathcad
Сообщение13.08.2017, 11:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5385
Москва
Наивный вопрос - отчего Кардано?
Если задача прикладная, и важно не освоить метод, а получить результат - как-то сразу напрашивается заведомо существующий действительный корень найти ну хоть Ньютоном, разделить на $x-x_1$ и полученное квадратное уравнение уже решать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Кардано и Mathcad
Сообщение13.08.2017, 15:01 
Экс-модератор


12/07/07
3168
Донецк, Украина
DEP, CTOL и TOL не учитываются при символьном решении уравнений (например инструмент solve на панели «Символьные» (в ru-версии)). Значения этих переменных учитываются при решении уравнений с помощью движка на базе чисел с плавающей точкой. Но легко проверить, что в рассматриваемом примере уменьшение TOL не приводит к изменению возвращаемых polyroots значений ни в 13, ни в 15.0. Однако в моей подверсии 13-ой при значительном уменьшении TOL генерируются ошибки: “This application has requested the Runtime to terminate it in unusual way”, “An internal error has occured”,... В 15.0 можно было уменьшать до 1e-15 (без видимых изменение результата).

В Mathcad 15.0 для указанных значений коэффициентов всё достаточно корректно работает. Даже глюк 13 версии, указанный в моём предыдущем сообщении, отсутствует; 15.0 выдаёт:
Код:
R(Z_1) = -4.3297218522707480238514066622814e-33+1.3965152067677095887951732637128e-32i
R(Z_2) = -8.7383899051427208767379936704027e-33-7.7871093467962764880392139402903e-33i

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: maxal, Karan, Toucan, PAV, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group