2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость ряда из производных
Сообщение06.08.2017, 15:58 


27/05/16
115
Есть ряд степенной $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с радииусом сходимости $R$. Составим ряд из производных $\sum\limits_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$. Нужно показать, что его радиус сходимости также равен $R$. Если пользоваться формулой Коши-Адамара, то получается, что надо показать, что $\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{ (n+1)\left\lvert a_{n+1}\right\rvert}=\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left\lvert a_{n} \right\rvert}$ . С обычными пределами проблем нет, там все строится на том, что $\lim\limits_{n \to \infty}^{} \sqrt[n]{(n+1)}=1$ и небольших преобразованиях подпредельного выражения, а вот с верхним как быть ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из производных
Сообщение06.08.2017, 16:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
loser228 в сообщении #1238781 писал(а):
а вот с верхним как быть ?

Должна была быть теорема о том, что верхний предел произведения равен произведению верхнего предела одного сомножителя на просто предел другого (если последний существует, конечно). Если не было -- докажите самостоятельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из производных
Сообщение06.08.2017, 17:21 


16/06/14
96
Умножить ряд производных на $x$, чтобы корни были правильной степени, а дальше как предложил ewert.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из производных
Сообщение06.08.2017, 17:37 


27/05/16
115
ewert в сообщении #1238786 писал(а):
loser228 в сообщении #1238781 писал(а):
а вот с верхним как быть ?

Должна была быть теорема о том, что верхний предел произведения равен произведению верхнего предела одного сомножителя на просто предел другого (если последний существует, конечно). Если не было -- докажите самостоятельно.


А если верхний предел одного сомножителя равен $+\infty$, то верхний предел произведения тоже будет равен $+\infty$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из производных
Сообщение06.08.2017, 18:48 


27/05/16
115
loser228 в сообщении #1238804 писал(а):

А если верхний предел одного сомножителя равен $+\infty$, то верхний предел произведения тоже будет равен $+\infty$ ?


Ну да, это верно, сам разобрался почему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из производных
Сообщение06.08.2017, 21:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
loser228 в сообщении #1238820 писал(а):
Ну да, это верно, сам разобрался почему.

Это, естественно, неверно, если просто предел равен нулю или отрицателен, т.е. оговорки, естественно, нужны. Но здесь-то он положителен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из производных
Сообщение06.08.2017, 22:17 


27/05/16
115
ewert
А почему неверно ?

Где эта теорема есть ? :D что-то нигде не найду

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из производных
Сообщение06.08.2017, 22:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
loser228 в сообщении #1238804 писал(а):
А если верхний предел одного сомножителя равен $+\infty$, то верхний предел произведения тоже будет равен $+\infty$ ?
loser228 в сообщении #1238864 писал(а):
А почему неверно ?
Возьмём $a_n=n(1+(-1)^n)$ и $b_n=\frac 1{n^2}$. Чему равны $\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n$ и $\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_nb_n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из производных
Сообщение06.08.2017, 23:04 


27/05/16
115
Someone в сообщении #1238867 писал(а):
loser228 в сообщении #1238804 писал(а):
А если верхний предел одного сомножителя равен $+\infty$, то верхний предел произведения тоже будет равен $+\infty$ ?
loser228 в сообщении #1238864 писал(а):
А почему неверно ?
Возьмём $a_n=n(1+(-1)^n)$ и $b_n=\frac 1{n^2}$. Чему равны $\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n$ и $\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_nb_n$?


Первый предел равен $+\infty$, а второй нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из производных
Сообщение06.08.2017, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Значит, неверно, что
loser228 в сообщении #1238804 писал(а):
если верхний предел одного сомножителя равен $+\infty$, то верхний предел произведения тоже будет равен $+\infty$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из производных
Сообщение06.08.2017, 23:09 


27/05/16
115
А в случае конечного верхнего предела и конечного обычного у второго множителя будет теорема выполняться ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из производных
Сообщение06.08.2017, 23:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
loser228 в сообщении #1238870 писал(а):
А в случае конечного верхнего предела и конечного обычного у второго множителя будет теорема выполняться ?

Если исключить нулевые пределы, то всё зависит от знаков. Если всё неотрицательно, то будет. А если нет, то там возникают проблемы с перескоками между супремумами и инфимумами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из производных
Сообщение06.08.2017, 23:28 


27/05/16
115
ewert
А можно источник, где эта теорема описана ? Заинтересовало ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из производных
Сообщение06.08.2017, 23:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
В такой формулировке: если существуют положительные $\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n=A$ и $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B$, то существует и $\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_nb_n=AB$ (считаем, что произведение положительного числа на $+\infty$ равно $+\infty$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из производных
Сообщение06.08.2017, 23:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
loser228 в сообщении #1238864 писал(а):
Где эта теорема есть ? :D что-то нигде не найду

Возможно, что и нигде. Всего не натеоремишь. Я, когда примерно год назад в последний раз приводил теорему о сохранении радиуса на лекции, от доказательства утверждения насчёт произведения просто отмахнулся: дескать, "буквально такого у нас не было, но доказывается оно ровно так же, как и тщательно обсасывавшиеся нами в первом семестре". Иначе я просто не мог поступить: после первого семестра у нас на матане нет экзамена, поэтому интуитивно очевидные вещи доказывать просто неуместно.

Формально же теорема о радиусе доказывается очень просто. Для любого эпсилона, большего нуля, начиная с некоторого номера выполняется $1-\varepsilon<\sqrt[n]n<1+\varepsilon$. Отсюда соответствующая двусторонняя оценка для супремумов произведений; откуда, в свою очередь, и верхний предел произведений зажат в сколь угодно узком интервале вокруг исходного значения; откуда он этому исходному и равен.

Ну плюс надо специально оговорить нулевые и бесконечные верхние пределы. Но даже с учётом этого много времени бы не потребовалось. Да вот -- неуместно было бы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group