2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Логарифмическо-тригонометрическое уравнение
Сообщение03.08.2017, 16:49 


26/04/14
115
Всем привет. Столкнулся с необходимостью решить уравнение вида
$\ln\frac{x+1}{x-1}+ 2\operatorname{arctg}x = b,$

где $b$ — константа.

Я нашёл приближённое решение, разложив логарифм и арктангенс в ряд и ограничившись первыми членами, но меня это решение не вполне удовлетворяет. Хотелось бы найти общее решение, если это, конечно, вообще представляется возможным.

Есть идея представить арктангенс в виде комплексного логарифма
$2\operatorname{arctg}x = i \ln\frac{i+x}{i-x},$

но, честно говоря, не вижу, чем это может помочь.

Может быть, кто-нибудь подкинет идейки? Заранее благодарю.

-- 03.08.2017, 17:53 --

Что касается $x$, то это должно быть вещественное положительное число. Более того, $x > 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическо-тригонометрическое уравнение
Сообщение03.08.2017, 19:33 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Mathew Rogan в сообщении #1238054 писал(а):
Есть идея представить арктангенс в виде комплексного логарифма

Идея хороша, но что-то дальше ниче не видно: какое то гадкое уравнение получилось....
Производная левой части хороша. Так что:
если угадывается корень (больший 1, например), то там других и нету...
Или можно так: левая часть равна $\int\limits_{x}^{\infty} \frac{4dt}{t^4-1}$ .Разлагая в ряд под интегралом, получим $ y=F(x) =4 \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{x^{4k-1}}{4k-1}$ (ну, это Вы делали: разница лишь в том, что в явном виде есть все коэф-ты). Отсюда $x=(3y)^{-\frac{1}{3}} + \frac{3}{7}y + O(y^2)$, при $y\to +0$ . Можно и дальше, но....

-- 03.08.2017, 21:39 --

При больших $y$ будет, конечно, не так:
$x=1+(2e^{\frac{\pi}{2}}+ o(1))\cdot e^{-y}$
Разнородность асимптотик, кстати, грит за то, что ничего сильно хорошего ждать не приходится.
Но через спецфункции, видимо, можно....

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическо-тригонометрическое уравнение
Сообщение04.08.2017, 14:46 


16/02/10
258
Важно уточнить 2 момента.
1. В каком смысле понимается $\arctg x$? Если в смысле \rm Arctg x$ -- главного значения, то решение не всегда существует.
Если \arctg x ={\rm Arctg} x +\pi k$, то для любого малого $\epsilon>0 $ в окрестности $(1, 1+\epsilon)$ найдется бесконечное количество корней.
2. Область значений параметра $b$. Если у Вас $\rm Arctg$, то похоже на то, что вещественные корни $(x<-1)$ существуют только при $b<-\pi$. Корней $x>1$ (похоже) нет вообще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическо-тригонометрическое уравнение
Сообщение04.08.2017, 15:59 


26/04/14
115
VPro в сообщении #1238315 писал(а):
Важно уточнить 2 момента.
1. В каком смысле понимается $\arctg x$? Если в смысле \rm Arctg x$ -- главного значения, то решение не всегда существует.
Если \arctg x ={\rm Arctg} x +\pi k$, то для любого малого $\epsilon>0 $ в окрестности $(1, 1+\epsilon)$ найдется бесконечное количество корней.
2. Область значений параметра $b$. Если у Вас $\rm Arctg$, то похоже на то, что вещественные корни $(x<-1)$ существуют только при $b<-\pi$. Корней $x>1$ (похоже) нет вообще.

1. Имеется в виду главное значение арктангенса.
2. Параметр $b$ у меня, как раз наоборот, больше $\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическо-тригонометрическое уравнение
Сообщение04.08.2017, 16:00 
Аватара пользователя


23/07/07
164
Mathew Rogan в сообщении #1238054 писал(а):
Может быть, кто-нибудь подкинет идейки?

Можно сделать замену $x=\tg{z}$, тогда исходное уравнение примет вид $x\th\left(\frac{b}{2}-\arctg{x}\right)=1$, а можно что-нибудь экзотическое, типа $x=\th{\frac{z}{2}}$ и исходное уравнение представится как $z+\operatorname{gd}\left(z\right)=b+i\pi$, где $\operatorname{gd}\left(z\right)$ - гудерманиан.

Может быть где-то что-то напутал :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическо-тригонометрическое уравнение
Сообщение04.08.2017, 17:41 


16/02/10
258
Прошу прощения, ошибся

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическо-тригонометрическое уравнение
Сообщение04.08.2017, 17:49 


26/04/14
115
VPro в сообщении #1238364 писал(а):
В этом случае есть основания утверждать, что ваше уравнение не имеет вещественных корней.

Нет, вы что-то путаете. При указанных мной условиях один вещественный корень должен быть. Положите $x$ равным любому числу больше единицы и вы убедитесь, что правая часть уравнения больше $\pi$. Соответственно, при $x \to \infty$ будет иметь место равенство $b = $\pi$$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическо-тригонометрическое уравнение
Сообщение04.08.2017, 18:30 


16/02/10
258
Mathew Rogan в сообщении #1238368 писал(а):
VPro в сообщении #1238364 писал(а):
В этом случае есть основания утверждать, что ваше уравнение не имеет вещественных корней.

Нет, вы что-то путаете. При указанных мной условиях один вещественный корень должен быть. Положите $x$ равным любому числу больше единицы и вы убедитесь, что правая часть уравнения больше $\pi$. Соответственно, при $x \to \infty$ будет иметь место равенство $b = $\pi$$.

Прошу прощения, ошибся

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическо-тригонометрическое уравнение
Сообщение04.08.2017, 20:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Вряд ли есть хоть что-то вменяемо аналитическое. Но зато есть выпуклость -- и, следовательно, крайне эффективно будет работать метод Ньютона. Надо лишь правильно выбирать начальные приближения. Если действовать тупо, то достаточно задать его сначала наобум и потом именно тупо и последовательно уменьшать его расстояние до единички вдвое до перешагивания через корень. Если чуть умнее -- воспользоваться асимптотиками DeBill, переведя их в формальные оценки сверху/снизу с небольшим запасом (сам те асимптотики не проверял, но уверен в их существовании и в возможности перевода).

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическо-тригонометрическое уравнение
Сообщение04.08.2017, 20:14 


26/04/14
115
Кстати, можно свести уравнение к комбинации гиперболического и тригонометрического арктангенсов:
$\operatorname{Arth} \frac{1}{x}+ \operatorname{arctg} x = \frac{b}{2}.$

Правда, ничего нового это не даёт, но зато красиво :-) .

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическо-тригонометрическое уравнение
Сообщение04.08.2017, 21:56 
Аватара пользователя


23/07/07
164
Mathew Rogan в сообщении #1238400 писал(а):
Кстати, можно свести уравнение к комбинации гиперболического и тригонометрического арктангенсов:
$\operatorname{Arth} \frac{1}{x}+ \operatorname{arctg} x = \frac{b}{2}.$

Правда, ничего нового это не даёт, но зато красиво :-) .

Именно из такого представления исходного уравнения следует то, что я привёл выше:

$\operatorname{Arth}\frac{1}{x}=\frac{b}{2}-\arctg{x};\quad\frac{1}{x}=\th\left(\frac{b}{2}-\arctg{x}\right);\quad
1=x\th\left(\frac{b}{2}-\arctg{x}\right).$

А теперь из такой записи можно предложить "ненаучный" подход (не кидайтесь какахами, в литературе такое нигде не встречал (может быть плохо читал), т.е. "ноу-хау" так сказать) - представим следующий аналог непрерывной дроби

$x=\frac{1}{\th\left(\frac{b}{2}-\arctg{x}\right)}=\frac{1}{\th\left(\frac{b}{2}-\arctg{\frac{1}{\th\left(\frac{b}{2}-\arctg{x}\right)}}\right)}=\frac{1}{\th\left(\frac{b}{2}-\arctg{\frac{1}{\th\left(\frac{b}{2}-\arctg{\frac{1}{\th\left(\frac{b}{2}-\arctg{x}\right)}}\right)}}\right)}=\frac{1}{\th\left(\frac{b}{2}-\arctg{\frac{1}{\th\left(\frac{b}{2}-\arctg{\frac{1}{\th\left(\frac{b}{2}-\arctg{\frac{1}{\th\left(\frac{b}{2}-\ldots\right)}}\right)}}\right)}}\right)}.$

На скорую руку в Excel проверил - отлично сходится к нужному корню: при $b>\pi$ достаточно всего лишь нескольких итераций, причем чем больше $b$, тем меньше итераций требуется; при $b\rightarrow\pi$ требуется больше итераций - несколько десятков и более. При $b<\pi$ - вещественных решений нет. Результаты сверил с Wolfram - практически совпадают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическо-тригонометрическое уравнение
Сообщение04.08.2017, 22:03 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
DeBill в сообщении #1238105 писал(а):
Или можно так:

Пардон: в первой формуле $y=b-\pi$, а во второй таки $y=b$

-- 05.08.2017, 00:19 --

Singular в сообщении #1238427 писал(а):
в литературе такое нигде не встречал

Ну, это довольно распространенный прием: переписать решаемое ур-е в виде $x=f(x)$, и решать далее методом итераций:
$x_{n+1} = f(x_n)$. Все будет хорошо, если производная в неподвижной точке по модулю меньше 1 (для Вашей функции она равна $\frac{x^2}{1+x^2}$), и начальное приближение достаточно близко к куда надо....

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическо-тригонометрическое уравнение
Сообщение04.08.2017, 22:32 
Аватара пользователя


23/07/07
164
Сам по себе метод получения цепных дробей "дремуч", ничего нового, действительно, тут нет. Про "литературу" я имел в виду ситуацию, когда подставляется функция в функцию и т.д., что в итоге даёт "функциональную" непрерывную дробь... Видимо никогда раньше не задумывался, что простой итерационный метод - это и есть, по сути, непрерывная дробь, просто ни разу не встречал такую форму записи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group