2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Что такое непересекающиеся цилиндрические множества?
Сообщение04.08.2017, 00:30 


27/08/16
9426
А. А. Боровков, "Теория Вероятностей", М., Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2017 - 656 с.
Теорема Колмогорова о согласованных распределениях - Приложение 2 (стр. 562, самый верх).
Цитата:
пусть $B_1\times\Bbb{R}^{T-N_1}$ и $B_2\times\Bbb{R}^{T-N_2}$ - два непересекающихся цилиндрических множества.
Но ведь по построению и определению цилиндрических множеств, $B_1\subset\Bbb{R}^{N_1}$ и $B_2\subset\Bbb{R}^{N_2}$, и, поэтому, (учитывая $N=N_1+N_2$)$$\left(B_1\times\Bbb{R}^{T-N_1}\right)\cap\left( B_2\times\Bbb{R}^{T-N_2}\right)=\left(B_1\times\Bbb{R}^{N_2}\times\Bbb{R}^{T-N}\right)\cap\left(\Bbb{R}^{N_1}\times B_2\times\Bbb{R}^{T-N}\right)=B_1\times B_2\times\Bbb{R}^{T-N}\neq\emptyset$$ Так в каком же смысле эти множества не пересекаются?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое непересекающиеся цилиндрические множества?
Сообщение04.08.2017, 00:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Декартово произведение некоммутативно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое непересекающиеся цилиндрические множества?
Сообщение04.08.2017, 00:41 


27/08/16
9426
mihaild в сообщении #1238177 писал(а):
Декартово произведение некоммутативно.
В авторских обозначениях $N_1$ и $N_2$ - это конечные множества индексов, подмножества универсального множества индексов $T$. Упорядоченность пространств в произведении подразумевается, как я понимаю. $R_1$ и $R_2$ - элементы борелевских $\sigma$-алгебр соответствующих пространств.

Кстати, на стр. 561 там очевидная опечатка при определении $\Bbb{R}^T$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое непересекающиеся цилиндрические множества?
Сообщение04.08.2017, 00:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Пусть $T=2$ и $N_1=N_2 = 1$. Как выглядят соответствующие цилиндрические множества для $B_{1} = \{1\}, B_{2}=\{2\}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое непересекающиеся цилиндрические множества?
Сообщение04.08.2017, 00:55 


27/08/16
9426
demolishka в сообщении #1238181 писал(а):
Пусть $T=2$ и $N_1=N_2 = 1$.
Невозможно. Это множества индексов, а не числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое непересекающиеся цилиндрические множества?
Сообщение04.08.2017, 01:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Хорошо, побудем формалистами. Пусть $T=\{1,2\}$, т.е. имеем $\mathbb{R}^T = \mathbb{R}_{1} \times \mathbb{R}_{2}$. $N_1 = \{1\}$, $N_{2}=\{1\}$. Пусть $B_1 = \{ 1 \} \subset \mathbb{R}_{2}$ и $B_2 = \{ 2 \} \subset \mathbb{R}_{2}$. Как выглядят цилиндрические множества?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое непересекающиеся цилиндрические множества?
Сообщение04.08.2017, 01:17 


27/08/16
9426
demolishka в сообщении #1238184 писал(а):
$N_1 = \{1\}$, $N_{2}=\{1\}$.
Да уж, пожалуйста, будьте тут формалистами. Но боюсь, множества индексов $N_1$ и $N_2$ сами не должны пересекаться, по логике теоремы, так что, $N_2=\left\{2\right\}$. При этих условиях цилиндрические множества будут $\left\{1\right\}\times\Bbb{R}_2$ и $$\Bbb{R}_1\times\left\{2\right\}$. Их пересечение есть $\left\{1\right\}\times\left\{2\right\}$.

Впрочем, что $N_1$ и $N_2$ не пересекаются нигде не оговорено. Если они пересекаются, то исходно обсуждаемые множества могут не пересекаться. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое непересекающиеся цилиндрические множества?
Сообщение04.08.2017, 01:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
realeugene, во-первых, в моей версии книжки (2-е издание 1986) ничего про непересечение $N_1$ и $N_2$ не сказано. Во-вторых, там ясно сказано, что мера на $\mathbb{R}^T$ задается на цилиндрических множествах. Также при проверке аддитивности стоит фраза
Цитата:
Действительно, пусть $B_1 \times \mathbb{R}^{T - N_{1}}$ и $B_2 \times \mathbb{R}^{T - N_{2}}$ - два непересекающихся цилиндрических множества.

Поэтому берутся просто два непересекающихся цилиндрических множества.

В случае, когда $N_1 \cap N_2 = \emptyset$, действительно получается, что соответствующие цилиндрические множества пересекаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое непересекающиеся цилиндрические множества?
Сообщение04.08.2017, 01:28 


27/08/16
9426
Да, спасибо. Вопрос закрыт.
Чтобы цилиндрические множества могли не пересекаться, должны пересекаться множества индексов их пространств оснований.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group