Элементарные преобразования над строками матрицы

[xjar1]

Всем привет, поясните пожалуйста следующий момент в теореме, где доказывается то, что ранг по строкам не меняется при элементарном преобразовании типа (II) (к какой-то строке прибавляется другая с неким коэффициентом)
"$A_s'=A_s+\lambda A_t \Rightarrow A_s=A_s'-\lambda A_t $
и следовательно
$\left\langle A_1,...,A_s+\lambda A_t,...,A_t,...,A_m \right\rangle = \left\langle A_1,...,A_s,...,A_t,...,A_m \right\rangle$"
(Кострикин)
Имеет ли автор ввиду, что все строки матрицы $A'$ линейно выражаются через строки $A$, и наоборот?
Тогда как перейти к равенству линейных оболочек?
P.S. Винберг пишет, что если каждый вектор $a_1,...,a_n$ линейно выражается через $b_1,...,b_n$ и наоборот, то очевидно получается
$\left\langle a_1,...,a_n \right\rangle = \left\langle b_1,...,b_n \right\rangle$
Почему очевидно? Что-то я не могу понять
Спасибо.

[Someone]

Уголковые скобки обозначают линейную оболочку?

xjar1 в сообщении #1238005 писал(а):

Тогда как перейти к равенству линейных оболочек?

А Вы определения линейной комбинации векторов и линейной оболочки сформулировать можете?

[xjar1]

Цитата:

Уголковые скобки обозначают линейную оболочку?

Да.

Цитата:

P.S. Винберг пишет, что если каждый вектор $a_1,...,a_n$ линейно выражается через $b_1,...,b_n$ и наоборот, то очевидно получается
$\left\langle a_1,...,a_n \right\rangle = \left\langle b_1,...,b_n \right\rangle$
Почему очевидно? Что-то я не могу понять

Это я понял, что-то затупил) по определению все подходит.
Но остался вопрос, $A_s'=A_s+\lambda A_t \Rightarrow A_s=A_s'-\lambda A_t $ это намек, на то что все строки матрицы $A'$ линейно выражаются через строки $A$, и наоборот? Или тут другой подход?

И еще один вопрос, в пункте, что ранг по столбцам не меняется при элементарных преобразованиях, доказывается, что

$$\sum\limits_{j=1}^{n} \lambda_j A^{j}=0 \Longleftrightarrow \sum\limits_{j=1}^{n} \lambda_j A'^{j}=0 $$

имеется ввиду что решения этих систем совпадают?
Далее идет вывод, что

Цитата:

Во всякой, в том числе и максимальной, независимой системе столбцов одной матрицы будет отвечать независимая система столбцов с теми же номерами другой матрицы

Как мы перешли к этому?

[iifat]

xjar1 в сообщении #1238005 писал(а):

Почему очевидно?

Ну, возьмите любой вектор из левой оболочки. Не входит ли он, часом, в правую?