Бесконечное произведение

[Noct]

Здравствуйте, хочу найти бесконечное произведение:

$$\prod\limits_{n=2}^{\infty} \frac{n^2+1}{n^2-1}$$

Возникла идея применить комплексный анализ

$$\prod\limits_{n=2}^{\infty} \frac{n^2+1}{n^2-1} = \prod\limits_{n=2}^{\infty} \frac{(n-i)(n+i)}{(n-1)(n+1)} = \lim\limits_{N \to \infty} \frac{2 \Gamma(N+1-i) \Gamma(N+1+i)}{\Gamma(N+1)^2 \Gamma(2-i) \Gamma(2+i)} $$

Константу $ \frac{2}{\Gamma(2-i) \Gamma(2+i)} $, удалось посчитать используя свойство Гамма функции и формулу дополнения Эйлера, получилось $\frac{\sinh(\pi)}{\pi}$, что совпадает со значением всего ряда, даваемым вольфрамом.
Осталось доказать, что

$$\lim\limits_{N \to \infty} \left\lvert \frac{\Gamma(N+1-i) \Gamma(N+1+i)}{\Gamma(N+1)}\right\rvert = 1$$

И вот тут возникла проблема. Как считать такие пределы?

[Noct]

Упс, описочка, забыл квадратик

$$\left\lvert \lim\limits_{N \to \infty} \frac{ \Gamma(N+1-i) \Gamma(N+1+i) }{ \Gamma(N+1)^2}\right\rvert$$

[gris]

Навскидку: если разделить числитель и знаменатель каждого сомножителя на $n^2$, то сверху и снизу будут сходящиеся произведения, причём снизу довольно известное.
Это я в школе увлекался Пойя и теперь его везде вижу Сверху тоже можно помудрить, но вряд ли это будет быстрее, чем у Вас.

[Noct]

gris в сообщении #1237143 писал(а):

Навскидку: если разделить числитель и знаменатель каждого сомножителя на $n^2$, то сверху и снизу будут сходящиеся произведения, причём снизу довольно известное. А вот сверху не помню

Ага. Внизу будет $\prod\limits_{n=2}^{\infty} \frac{n^2-1}{n^2}= \frac{1}{2}$
С числителем интереснее:

$$\prod\limits_{n=2}^{\infty} \frac{n^2+1}{n^2}$$

, что по существу тоже самое: раскладываем на множители, переходим к Гамма функции или можно посчитать использовав разложение

$$\frac{\sin(\pi z)}{\pi z} = \prod\limits_{n=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{z^2}{n^2} \right)$$

, и немедленно получить ответ.
Однако вопрос в силе ибо хочется научиться считать такое произведение в общем случае:

$$\prod\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^s + 1}{n^s - 1}, s \in \mathbb{N} \setminus {1}$$

[Vince Diesel]

Для целых $s>1$ будет выражаться через гамма-функцию, см. например, тут.

[Noct]

Vince Diesel в сообщении #1237157 писал(а):

Для целых $s>1$ будет выражаться через гамма-функцию, см. например, тут
.

(Оффтоп)

Ну вот взяли проспойлерили, а я только для $s=4$, досчитал
Однако спасибо, не знал что у вольфрама такая хорошая база данных есть