2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Решения системы алгебраических уранений
Сообщение18.01.2016, 23:12 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
Someone в сообщении #1091996 писал(а):
Я вообще перестал понимать, что Вы спрашиваете.
Просто из предыдущего вашего поста мне показалось, что ваше замечание "имеет немало пользы" для задачи (для действительных переменных), и дальше эта задача легко решается (не тяжелее рассмотренных случаев).
Хотя, конечно, ваше замечание, как понимаю, направлено не мне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решения системы алгебраических уранений
Сообщение19.01.2016, 14:52 


25/08/11

1074
Someone и я, насколько я понимаю, говорим одно и то же разными словами. Попытаюсь кратко суммировать. Обычно для мног. Чебышёва рассматривают аргументы из отрезка $[-1,1]$. Если в задаче так, то на этом промежутке мног. Ч. меньше единицы, кроме концов. Осталось перебрать случаи на концах $1\cdot1=(-1)\cdot(-1)=1$, решается сразу и явно. Вне отрезка многочлены наоборот не меньше единицы, опять остаются те же решения на концах, как и в предыдущем случае. Если один аргумент на отрезке, а другой вне-то ничего сказать нельзя, по крайней мере такими элементарными выкладками. Тем более ничего не скажешь в комплексном случае. Я не уверен что в этом случае даже система из двух квадратных уравнений в принципе решается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решения системы алгебраических уранений
Сообщение19.01.2016, 15:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
sergei1961 в сообщении #1092211 писал(а):
Обычно для мног. Чебышёва рассматривают аргументы из отрезка $[-1,1]$. Если в задаче так, то на этом промежутке мног. Ч. меньше единицы, кроме концов. Осталось перебрать случаи на концах $1\cdot1=(-1)\cdot(-1)=1$, решается сразу и явно.
Ну нет, там точек больше. Собственно, $-1\leqslant T_n(x)\leqslant 1$ при $-1\leqslant x\leqslant 1$, причём, $T_n(x_k)=(-1)^k$ в точках $x_k=\cos\frac{\pi k}n$, где $k=0,1,2,\ldots,n$.

(ivvan)

ivvan в сообщении #1092001 писал(а):
Хотя, конечно, ваше замечание, как понимаю, направлено не мне.
Да, не Вам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решения системы алгебраических уранений
Сообщение19.01.2016, 16:09 


25/08/11

1074
Someone - да, я написал неточно, но основной смысл сохраняется-все решения можно выписать в явном виде сразу. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решения системы алгебраических уранений
Сообщение24.01.2016, 20:14 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
ivvan в сообщении #1091253 писал(а):
mihiv в сообщении #1088449 писал(а):
С помощью результанта.
Спасибо за толчок.
Если ничего не напутал, то конечное число решений имеет любая система$$
\begin{cases}
P(x)P(y)=1\\
Q(x)Q(y)=1\\
\end{cases}
$$с многочленами $P$ и $Q$ неравных ненулевых степеней, имеющими только простые корни.
Неравенство степеней исключается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решения системы алгебраических уранений
Сообщение24.01.2016, 22:00 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
ivvan в сообщении #1091523 писал(а):
mihiv в сообщении #1091399 писал(а):
По-моему, единственное ограничение: многочлены $P$ и $Q$ не должны быть равны тождественно.
Вот ещё ограничения: $P\neq\pm Q^n,n=0,1,2,\dots$. Нет ли ещё других ограничений?
Упустил более общий случай, когда $P$ и $Q$ - степени одного многочлена с точностью до коэффициента $\pm1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решения системы алгебраических уранений
Сообщение25.01.2016, 00:08 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Вас какой-то конкретный случай интересует или общая теория для систем такого вида?
Если конкретный, находите базис Гребнера и точно знаете количество корней над полем комплексных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решения системы алгебраических уранений
Сообщение25.01.2016, 19:51 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
DLL в сообщении #1094004 писал(а):
Вас какой-то конкретный случай интересует или общая теория для систем такого вида?
В первоначальном вопросе рассматривалось счётное число систем. Теперь рассматриваю
ivvan в сообщении #1091253 писал(а):
любая система$$
\begin{cases}
P(x)P(y)=1\\
Q(x)Q(y)=1\\
\end{cases}
$$с многочленами $P$ и $Q$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решения системы алгебраических уранений
Сообщение26.01.2016, 18:20 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Если рассматривать полиномы $F(x,y)=P(x)P(y)-1$ и $G(x,y)=Q(x)Q(y)-1$ как полиномы от $y$, то результант от этих полиномов -это полином от $x$, степень которого не более $4mn$, где $m$ и $n$ степени полиномов $P$ и $Q$. В этом случае система уравнений имеет конечное число решений. Бесконечное число решений возможно, только если результант тождественно равен 0.
В любом конкретном случае сравнительно просто проверить равен ли результант тождественно 0. Так как это сводится к вычислению определителя с числовыми элементами (значение результанта при одном или нескольких произвольно выбранных $x$).
Можно попробовать найти и общие условия на $P$ и $Q$, при которых результант- тождественный 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решения системы алгебраических уранений
Сообщение23.07.2017, 19:01 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
ivvan в сообщении #1093959 писал(а):
ivvan в сообщении #1091253 писал(а):
mihiv в сообщении #1088449 писал(а):
С помощью результанта.
Спасибо за толчок.
Если ничего не напутал, то конечное число решений имеет любая система$$
\begin{cases}
P(x)P(y)=1\\
Q(x)Q(y)=1\\
\end{cases}
$$с многочленами $P$ и $Q$ неравных ненулевых степеней, имеющими только простые корни.
Неравенство степеней исключается.

Если $P$ и $Q$ взаимно просты, то при любой кратности своих корней система имеет конечное число решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решения системы алгебраических уранений
Сообщение23.07.2017, 22:15 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
Цитата:
Для многочленов $P(x), Q(x)$ существуют многочлены $U(x), V(x)$ с $\operatorname{deg}U\leqslant\operatorname{deg}⁡P-1$,
$\operatorname{deg}V\leqslant\operatorname{deg}Q-1$ такие, что $\operatorname{res}(P(x), Q(x))=P(x)V(x)+Q(x)U(x)$.
Если представлять $U$ и $V$ в форме Ньютона по следующим друг за другом последовательностям корней двух полиномов $P(x)$, $Q(x)$, то будет очевидно
ivvan в сообщении #1235498 писал(а):
Если ничего не напутал, то конечное число решений имеет любая система$$
\begin{cases}
P(x)P(y)=1\\
Q(x)Q(y)=1\\
\end{cases}
$$с многочленами $P$ и $Q$ неравных ненулевых степеней, имеющими только простые корни. Неравенство степеней исключается.
Если $P$ и $Q$ взаимно просты, то при любой кратности своих корней система имеет конечное число решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решения системы алгебраических уранений
Сообщение25.07.2017, 22:55 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
Из уравнения $Q(x)Q(y)=1$ можно получить решения $y=y(x)$ из алгебраического замыкания поля частных кольца многочленов (одной переменной), и тогда нужно доказать, что $P(x)P(y(x))\equiv1$ для некоторого $y=y(x)$. Если $Q(x)Q(y)-1$ неразложимо в рассматриваемом расширении кольца многочленов, то можно, представив $P$ в форме Ньютона по зацикленной последовательности корней $Q$, заменяя $Q(y(x))$ на $(Q(x))^{-1}$ и умножая части рассматриваемого тождественного равенства на $Q(x)$ столько раз, чтобы получились в обоих частях многочлены от $x$ и $y(x)$, увидеть, что $P$ должно быть степенью $Q$.
Будет ли $Q(x)Q(y)-1$ неразложимо для неконстантного $Q$, являющего степенью только самого себя?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решения системы алгебраических уранений
Сообщение30.07.2017, 19:49 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
ivvan в сообщении #1235919 писал(а):
Будет ли $Q(x)Q(y)-1$ неразложимо для неконстантного $Q$, являющего степенью только самого себя?
В принципе, можно доказать, что $Q(x)Q(y)-1$ не имеет корней в $F[x]$, если $Q(x)\nequiv(x-x_0)^n$ (сделав преобразование $x'=x-x_0, y'=\frac{1}{y-x_0}$, где $x_0$ - корень $Q$, умножив многочлен на $y'^{\deg{Q}}$ и сравнивая кратности произвольного числа из $F$ как корня для того, что получилось из $Q(x)Q(y)$ и $1$). Но как будут выглядеть резольвенты для разложения $Q(x)Q(y)-1$ на множители неединичных степеней и можно ли для них построить подобное доказательство, не разобрался к настоящему моменту.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group