2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Общая касательная к кривым(поверхностям) второго порядка
Сообщение26.07.2017, 22:44 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Что-то больно толстая линейчатая поверхность получается....
Пусть наша пара эллипсоидов - две одинаковых сферы.
Возьмем палочку, и бум переносить ее параллельно себе, пока она не коснется обоих шаров. Тут то мы ее и повращаем вокруг осевой линии шаров - и получим честный однополостный гиперболоид. НО: чем "непараллельнее" осевой линии начальная палочка, тем "ниже" она опустится, и тем "ближе" окажется в момент двойного касания к осевой линии. И тем самым, тем уже окажется "поясок" гиперболоида (состоящий из точек, наиближайших к оси). Значит, гиперболоиды получаются - разные, и мы получили целую тучу гиперболоидов (составленных из общих касательных), образующих некое трехмерное таки тело...

-- 27.07.2017, 00:48 --

А хорошая задача - в качестве (анти) иллюстрации к тезису студентов "а на френа нам все эти ваши матанализы и ангемы: компутер мне и так все нарисует "

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая касательная к кривым(поверхностям) второго порядка
Сообщение26.07.2017, 23:15 


10/09/14
171
DeBill , если сферы то да-будут однополостные гиперболоиды вращения или конус, в случае эллипсоидов - вращения "палочки" не
получится. Получается поверхность, изображенная на картинке.
Поверхность не толстая - она самопересекающаяся и имеет две полости, пересекающиеся по кривой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая касательная к кривым(поверхностям) второго порядка
Сообщение27.07.2017, 09:47 


10/09/14
171
Вот часть поверхности, отсеченная плоскостью $x=0$. Для лучшего обзора.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая касательная к кние ривым(поверхностям) второго порядка
Сообщение27.07.2017, 22:30 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
redicka
Да нет же! Просто в Вашей программе, видимо, рассматриваются не все касательные, а лишь какого-то специального вида....
Для эллипсоидов: Возьмем произвольно точку $P$, и проведем из нее все касательные к первому эллипсоиду. Они образуют конус; рассмотрим его пересечение с единичной сферой с центром в $P$. Оно состоит из пары овалов. Построим такой же конус (и пару овалов) для второго эллипсоида. Будем двигать точку $P$ и посмотреть на овалы. Более-менее ясно, что для некоторого ее положения $P_0$, овалы пересекаются. Значит, через $P_0$ проходит общая касательная (она просто есть прямая из пересечения конусов). Пошевелим точку $P_0$; овалы чуток изменятся, но их пересекаемость не исчезнет. Это означает, что через все точки, достаточно близкие к $P_0$, проходит общая касательная. Так что "поверхность" имеет внутренние точки (трехмерна).

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая касательная к кривым(поверхностям) второго порядка
Сообщение27.07.2017, 23:17 


10/09/14
171
DeBill , речь идет о задаче, поставленной ТС.
Вот картинка, на ней написаны мои замечания.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая касательная к кривым(поверхностям) второго порядка
Сообщение28.07.2017, 01:48 


20/04/10
1776
redicka в сообщении #1236353 писал(а):
Вот картинка, на ней написаны мои замечания

Дело в том, что, как Вы сами указали на картинке, эллипсоиды в Ваших рассуждениях катаются по плоскости, а через точки касания проводите прямые. Но это слишком жёсткое условие для существования общей касательной. Нужно было "катать" по прямой. Нагляднее, конечно, прямую катать по нашим эллипсоидам. Представляем, что у нас в руках бабушкина спица и вперед. Становится очевидным, что есть бесконечное число касательных, пересекающих изображенную Вами поверхность (на что указал DeBill). Кроме того, существуют касательные к линиям пересечения эллипсоидов.

Если есть желание изучить все семейство касательных, то можно поступить так:
выберем систему координат таким образом, что один из эллипсоидов превращается в сферу единичного радиуса, а центр другого расположен на оси $z$;
уравнение прямой запишем в виде $y=k_1 x+b_1$, $z=k_2 x+b_2$;
ищем решение следующих двух систем уравнений с переменными $x, y, z$:
$\begin{cases}
   x^2/a^2+y^2/b^2+(z-z_0)^2/c^2=1, 
   \\
  y=k_1 x+b_1,
   \\
  z=k_2 x+b_2.
 \end{cases}\,\,\,\,\,
\begin{cases}
   x^2+y^2+z^2=1, 
   \\
  y=k_1 x+b_1,
   \\
  z=k_2 x+b_2.
 \end{cases}
$
приравниваем получившиеся дискриминанты к нулю, что позволит нам исключить два параметра из искомой касательной, например $k_1, k_2$. В итоге получим двухпараметрическое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая касательная к кривым(поверхностям) второго порядка
Сообщение28.07.2017, 08:17 


10/09/14
171
lel0lel , спасибо за разъяснения. Я исходил еще из того, что через каждую касательную прямую можно было провести плоскость, касательную к обеим эллипсоидам.

-- 28.07.2017, 10:02 --

Для сфер просто и понятно (кстати, для сфер с общим центром задача не имеет смысла). Все касательные поверхности к обеим сферам представляют собой семейство однополостных гиперболоидов вращения, заключенных между предельными конусами.
На картинке один из таких гиперболоидов.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая касательная к кривым(поверхностям) второго порядка
Сообщение28.07.2017, 09:42 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Ну вот отсюда и заблуждение, это ведь неверно. Плоскость, касающаяся первого эллипсоида, однозначно задана точкой касания. С какого она вдруг обязана касаться также и второго эллипсоида, нам такого никто не обещал. "Плоскость, касающаяся данного эллипсоида, касается также и любого другого эллипсоида" - это, кхм, смелое утверждение.

Это я про "через каждую касательную прямую можно было провести плоскость, касательную к обеим эллипсоидам.", а не про дальнейшее.

(Оффтоп)

Блин, сломалась кнопка цитаты. Теперь я опять не могу цитировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая касательная к кривым(поверхностям) второго порядка
Сообщение28.07.2017, 09:47 


10/09/14
171
INGELRII , я Вас не понял. Выше я сказал, что я искал такие касательные к эллипсоидам с общим центром, чтобы через каждую из них можно провести плоскость касательную к обеим эллипсоидам. В чем заблуждение?
Конечно, мое заявление (на картинке), что других касательных прямых не существует неверно, но таких, что через них можно провести плоскость,
касательную к обеим эллипсоидам - верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая касательная к кривым(поверхностям) второго порядка
Сообщение28.07.2017, 10:08 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
В том, что плоскость задается какой-нибудь своей точкой (к примеру, той, в которой о6а касается эллипсоида) и вектором нормали (который совпадает с нормалью к эллипсоиду в точке касания). Затем мы берем совершенно левый эллипсоид, который имеет с этой плоскостью общую точку и ожидаем, что в этой точке вектор нормали ко второму эллипсоиду будет тем же самым - а почему это вдруг? Скорее наоборот, он почти никогда не будет таким же.

Ну или может так будет понятнее: возьмем на первом эллипсоиде точку $M$, такую что касательная плоскость $P$ в ней к первому эллипсоиду пересекает второй эллипсоид. Такие точки есть, и их целая куча. Кривой пересечения будет эллипс. Проведем из нашей точки $M$ к нему касательную прямую $a$. Эта касательная $a$ и будет любезной нашему сердцу прямой, касающейся одновременно обоих эллипсоидов. Но очевидно, что плоскость $P$ никак не может быть касательной ко второму эллипсоиду, коль скоро она его пересекает - касательная к эллипсоиду имеет с ним всегда ровно одну общую точку!

А вот вам, кстати, и простой способ строить прямые, касающиеся обоих эллипсоидов: берем любую плоскость, пересекающую их обоих. Линиями пересечения будут два эллипса. Строим в нашей плоскости общую касательную этих двух эллипсов. Готово.

Собственно, как я понимаю, это работает вообще для произвольных двух гладких поверхностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая касательная к кривым(поверхностям) второго порядка
Сообщение28.07.2017, 10:36 


10/09/14
171
INGELRII, я совершенно не понимаю предмет Вашего ( нашего) обсуждения.
Вы можете четко сформулировать - в чем мое заблуждение :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая касательная к кривым(поверхностям) второго порядка
Сообщение28.07.2017, 10:51 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
В том, что касательная к двум эллипсоидам обязательно лежит в плоскости, также касательной к ним. На самом деле почти никогда. Это я и иллюстрирую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая касательная к кривым(поверхностям) второго порядка
Сообщение28.07.2017, 11:02 


10/09/14
171
А я такого никогда не заявлял!
Я сказал, что искал такие касательные прямые к двум эллипсоидам , каждая из которых лежит в касательной плоскости к обеим эллипсоидам.
И показал на картинке такие касательные прямые и поверхность (линейчатую, которую эти касательные образовали) и все.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая касательная к кривым(поверхностям) второго порядка
Сообщение28.07.2017, 11:49 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
А! Понял, кажется. Вы имеете в виду поверхность, образованную именно такими касательными прямыми, которые лежат в плоскостях, также касательных обоим эллипсоидам. Но чтобы понять это до Вашего последнего поста, мне пришлось бы прибегнуть к телепатии, а я стараюсь кастовать это заклинание пореже, на него тратится слишком много маны.

Но тогда уже я не понял замечаний предыдущих дискуссантов. Ведь такая поверхность и впрямь единственна. Вот множество вообще всех касательных - оно да, заметает некую трехмерную область в пространстве.

(Оффтоп)

Вы выбрали для своего графика чудесный хостинг, должен заметить. Фотографии голых девок служат для графика подходящим дополнением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая касательная к кривым(поверхностям) второго порядка
Сообщение28.07.2017, 14:07 


10/09/14
171
Ну, наконец-то.! Между прочим, гиперболоид для двух сфер я строил по предложенному Вами способу - пресек сферы плоскостью параллельной
пл. XOZ - получил две окружности; нашел общую касательную к обеим окружностям и далее завращал касательную (отрезок между точками касания)
вокруг оси OZ - получился вот такой, симпатичный, однополостный гиперболоид вращения (один из бесконечного числа).
Можно было вращать и плоскую гиперболу, которая однозначно определяется отрезком между точками касания сфер.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group