2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сто точек на плоскости
Сообщение25.06.2017, 14:38 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
а) Можно ли отметить на плоскости 99 точек так, чтобы какое бы целое число от 1 до 19 ни назвали, нашлась бы прямая, на которой лежит ровно столько отмеченных точек?

б) Можно ли отметить вышеуказанным образом 100 точек?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сто точек на плоскости
Сообщение25.06.2017, 20:42 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
$19+(18-1)+ (17-2)+(16-3)+... +(10-9) = 19+17+15+...+3+1=100$.
Сто точек надо, однако.....

 Профиль  
                  
 
 Re: Сто точек на плоскости
Сообщение06.07.2017, 14:37 
Аватара пользователя


27/02/09

416
Мегаполис
А если в некоторых точках пересекаются не две обусловливающие прямые, а три и более?
Ведь когда более трех прямых, то появляются такие вааансии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сто точек на плоскости
Сообщение06.07.2017, 18:57 


01/11/14
195
Пояснения и пример конструкции здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сто точек на плоскости
Сообщение07.07.2017, 08:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Изображение
Вот принцип построения для $8$ (для $19$ аналогично).
Строим синий уголок, разбиваем каждую его сторону семью ($8-1$) точками, проводим черные линии, половину (включая биссектрису) точек пересечения которых назначаем искомыми красными точками. Для половины самых богатых точками линий добавляем по одной зауголочной красной точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сто точек на плоскости
Сообщение08.07.2017, 08:11 
Аватара пользователя


27/02/09

416
Мегаполис
TOTAL в сообщении #1231979 писал(а):
Изображение
Вот принцип построения для $8$ (для $19$ аналогично).
Строим синий уголок, разбиваем каждую его сторону семью ($8-1$) точками, проводим черные линии, половину (включая биссектрису) точек пересечения которых назначаем искомыми красными точками. Для половины самых богатых точками линий добавляем по одной зауголочной красной точке.


Так версий процедур построения пересекающихся линий и выбора на этих линиях точек можно предложить много, причем все процедуры возможно записать алгоритмически с входным параметром: 8, ..., 19. И вопрос-то: доказать (на каком основании) это "топологическое свойство", что, например, для 8 меньше, чем 20, не получится, так как не слишком "очевидно". PS Вот для 19 уже и "вычислительно необозримо" (для случая, если программу написать, которая варианты нарисовок перебирала бы).

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Сто точек на плоскости
Сообщение10.07.2017, 05:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Мастак в сообщении #1232170 писал(а):
Так версий процедур построения пересекающихся линий и выбора на этих линиях точек можно предложить много, причем все процедуры возможно записать алгоритмически с входным параметром: 8, ..., 19. И вопрос-то: доказать (на каком основании) это "топологическое свойство", что, например, для 8 меньше, чем 20, не получится, так как не слишком "очевидно".

Вопрос про доказательство был снят сразу:
DeBill в сообщении #1229606 писал(а):
$19+(18-1)+ (17-2)+(16-3)+... +(10-9) = 19+17+15+...+3+1=100$.
Сто точек надо, однако.....

 Профиль  
                  
 
 Re: Сто точек на плоскости
Сообщение10.07.2017, 08:44 
Аватара пользователя


27/02/09

416
Мегаполис
TOTAL в сообщении #1232508 писал(а):
Мастак в сообщении #1232170 писал(а):
Так версий процедур построения пересекающихся линий и выбора на этих линиях точек можно предложить много, причем все процедуры возможно записать алгоритмически с входным параметром: 8, ..., 19. И вопрос-то: доказать (на каком основании) это "топологическое свойство", что, например, для 8 меньше, чем 20, не получится, так как не слишком "очевидно".

Вопрос про доказательство был снят сразу:
DeBill в сообщении #1229606 писал(а):
$19+(18-1)+ (17-2)+(16-3)+... +(10-9) = 19+17+15+...+3+1=100$.
Сто точек надо, однако.....


Хм. Это "процесс откусывания" как бы по столько точек, сколько возможно, НО при "по умолчанию" условии, что любые две прямые пересекаются только в одной точке. Вопрос в том,
если в одной точке более двух контрольных прямых пересекаются (то есть уже "откусили" какие-то точки на предыдущих шагах построения ряда и учитывать их уже не надо).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сто точек на плоскости
Сообщение10.07.2017, 08:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Мастак в сообщении #1232516 писал(а):
Хм. Это "процесс откусывания" как бы по столько точек, сколько возможно, НО при "по умолчанию" условии, что любые две прямые пересекаются только в одной точке. Вопрос в том,
если в одной точке более двух контрольных прямых пересекаются (то есть уже "откусили" какие-то точки на предыдущих шагах построения ряда и учитывать их уже не надо).

Что именно Вам не понятно в доказательстве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сто точек на плоскости
Сообщение10.07.2017, 12:39 
Аватара пользователя


27/02/09

416
Мегаполис
TOTAL в сообщении #1232518 писал(а):
Мастак в сообщении #1232516 писал(а):
Хм. Это "процесс откусывания" как бы по столько точек, сколько возможно, НО при "по умолчанию" условии, что любые две прямые пересекаются только в одной точке. Вопрос в том,
если в одной точке более двух контрольных прямых пересекаются (то есть уже "откусили" какие-то точки на предыдущих шагах построения ряда и учитывать их уже не надо).

Что именно Вам не понятно в доказательстве?


Вот если представить пространство из всяческих пересечений конечного числа прямых, то условия задачи возможно интрепретировать как критерии поиска экстремума в этом пространстве. И есть вот много локальных экстремумов (например, вот Вами показанных рисунок, и показанный подсчет как обоснование годиться только для определенного рода рисунков, и второй - вот приведнный мною рисунок, тоже 20, где возможный систематический подсчет уже иной).
Неочевидно, что нет еще (как бы) "локального экстремума" с меньшим числом отмеченных точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сто точек на плоскости
Сообщение10.07.2017, 13:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Мастак в сообщении #1232554 писал(а):
Неочевидно, что нет еще (как бы) "локального экстремума" с меньшим числом отмеченных точек.
Очевидно, что для $n=19$ необходимо минимум $100$ точек. Что тут непонятного?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сто точек на плоскости
Сообщение10.07.2017, 16:10 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Мастак в сообщении #1232516 писал(а):
любые две прямые пересекаются только в одной точке.

Если - более, то они совпадают, однако...
Если -менее, то тем хужее для них.
То же - для
Мастак в сообщении #1232516 писал(а):
если в одной точке более двух контрольных прямых пересекаются

(больше точек потребуется)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group