2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Гамильтониан "заряженной" частицы из действия
Сообщение10.07.2017, 02:04 


22/05/13
40
Здравствуйте

(Оффтоп)

Довольно часто приходится смотреть на поведение разных (классических) частиц в электромагнитном поле. Иногда эти частицы имеют заряд, иногда нейтральны, но имеют дипольный момент, или квадрупольный и т.д. Анализ их уравнений движения удобно начинать с "общего" Гамильтониана взаимодействия $H_{int}=\int d^3 r \left( \rho \varphi - \vec{A}.\vec{J} \right)$, где $\varphi , \vec{A}$ это скалярный и векторный потенциал внешнего поля, а $\rho, \vec{J}$ это плотность заряда и тока частицы. К примеру для неподвижной частицы с электрическим диполем $\vec{p}$, в точке $\vec{r}_0$: $\rho\left(\vec{r}\right)=-\nabla.\left(\vec{p}\delta(\vec{r}-\vec{r}_0)\right)$.


В виде учебного упражнения хотелось бы вывести часть Гамильтониана ответственную за взаимодействия плотности заряда ($\rho$) и тока ($\vec{J}$) какой-то (классической) частицы с (классическим) внешним полем. Частица может быть заряженной, а может быть и нейтральной, но, скажем, с электрическим диполем (поэтому у меня кавычки на "заряженной"). По-критикуйте пожалуйста мой вывод (и дайте ссылку если он где-нибудь дан в такой форме).

Начинаем с действия выраженного как интеграл по пространству-времени (его верность можно доказать выведением уравнений Максвелла из самого действия):

$S=\int{d^4 x \frac{1}{c}\left( -\frac{1}{4\mu_0}\left(\partial^{\alpha}A^{\beta}-\partial^{\beta}A^{\alpha}\right)\left(\partial_{\alpha}A_{\beta}-\partial_{\beta}A_{\alpha}\right)-A^{\nu}J_{\nu}\right)}$

Всё записано для плоского пространства-времени с метрикой $g_{\alpha\beta}=\operatorname{diag}\left(1,-1,-1,-1\right)$, $g^{\alpha\beta}=\operatorname{diag}\left(1,-1,-1,-1\right), g^{\alpha\beta}g_{\beta\nu}=\delta^{\alpha}_{\nu}$. Частные производные обозначаются как $\partial_\alpha=\frac{\partial}{\partial x^\alpha}$, $\partial^\alpha=g^{\alpha\nu}\partial_\nu$. $A^{\nu}=\left(\varphi/c,\,\vec{A}\right)^\nu$, это 4-потенциал ($\partial_\nu A^{\nu}=0$). $J^{\nu}=\left(c\rho,\,\vec{J}\right)^\nu$ это 4-ток. Повсюду повтор индекса подразумевает сумму. Константы: $c$-скорость света, $\mu_0$-магнитная проницаемость вакуума.

Для начала упростим первый член, который состоит из продуктов $\partial_{\alpha}A_\beta$ и т.д. Интегрируя по частям можно перебросить производные с одного 4-потенциала на другой, а потом использовать $\partial^\alpha\partial_\alpha A^\beta=\mu_0 J^\beta$ и $\partial_\nu A^{\nu}=0$:

$
\int \frac{d^4 x}{c} \partial_\alpha A_\beta \partial^\alpha A^\beta=\int \frac{d^4 x}{c} \partial_\alpha\left( A_\beta \partial^\alpha A^\beta\right)-\mu_0\int \frac{d^4 x}{c}A_\beta  J^\beta=\oint \frac{d^3 x}{c} \dots-\mu_0\int \frac{d^4 x}{c}A_\beta  J^\beta

\int \frac{d^4 x}{c} \partial_\alpha A_\beta \partial^\beta A^\alpha=\int \frac{d^4 x}{c} \partial_\alpha\left( A_\beta \partial^\beta A^\alpha\right)-0=\oint \frac{d^3 x}{c} \dots
$

Тогда действие становится:

$S=\oint \frac{d^3 x}{c} \dots - \frac{1}{2}\int{d^4 x \frac{1}{c}\left( A^{\nu}J_{\nu}\right)}$


Я не стал выписывать поверхностные интегралы в явной форме так как они не внесут вклад в уравнения движения (ведь вариации обычно полагают нулевыми на границах интеграла). В дальнейшем я просто выкидываю $\oint \frac{d^3 x}{c} \dots $ из действия. Теперь я упрощу второй член. Мне неудобно иметь общий ток и общее поле. Я распишу их так:

$S= - \frac{1}{2}\int{ \frac{d^4 x}{c}\left( A^{(s)\nu} + A^{(e)\nu}\right)\left(J^{(s)}_{\nu}+J^{(e)}_{\nu}\right)}=-\frac{1}{2}\int{ \frac{d^4 x}{c}\left(  A^{(s)\nu}J^{(s)}_{\nu}+A^{(e)\nu}J^{(e)}_{\nu} + A^{(s)\nu}J^{(e)}_{\nu} + A^{(e)\nu}J^{(s)}_{\nu} \right)}$

Здесь $\dots^{(e)}$ это поля и токи связанные с внешним полем, а $\dots^{(s)}$ это поля и токи связанные с частицей динамика которой нам интересна. Поведение внешнего поля контролируется "экспериментатором" и поэтому нам неинтересно, его прячем в $S^{field}$. Поведение частицы без поля нам тоже как-бы неинтересно, оно будет получено позже из других соображений, его прячем в $S^{self}$. Остаётся два члена взаимодействия, один из них можно поменять интеграцией по частям:


$\int{ \frac{d^4 x}{c}   A^{(s)\nu}J^{(e)}_{\nu} }=\mu_0\int{ \frac{d^4 x}{c}   A^{(s)\nu} \left(\partial_\eta \partial^{\eta } A^{(e)}_{\nu} \right) }=\oint \frac{d^3 x}{c} \dots+\mu_0\int{ \frac{d^4 x}{c} \left(\partial_\eta \partial^{\eta } A^{(s)}^{\nu} \right) A^{(e)}_{\nu}}$

$\int{ \frac{d^4 x}{c}   A^{(s)\nu}J^{(e)}_{\nu} }=\oint \frac{d^3 x}{c} \dots+\mu_0\int{ \frac{d^4 x}{c} J^{(s)}^{\nu} A^{(e)}_{\nu}}$

Опять отбрасываем поверхностный интеграл:

$S=S^{self}+S^{field}-\int{ \frac{d^4 x}{c}  A^{(e)\nu}J^{(s)}_\nu}$

Для Гамильтониана концентрируемся на последнем члене. Находим плотность Гамильтониана ($\mathcal{H}_{int}$) из плотности Лагранжиана ( $\mathcal{L}_{int}$):

$\mathcal{L}_{int}=-A^{(e)\nu}J^{(s)}_\nu$
$\Pi_\nu=\left(\frac{\partial \mathcal{L}_{int}}{\partial \dot{J}^{(s)\nu}}\right)_{t,x,y,z,J^{\nu},\partial_x J^{\nu}, \partial_y J^{\nu}, \partial_z J^{\nu}}$
$\dot{J}^{(s)\nu}=\left(\frac{\partial J^{(s)\nu}}{\partial t}\right)_{x,y,z}$
$\mathcal{H}_{int}=\Pi_\nu \dot{J}^{(s)\nu}-\mathcal{L}_{int}=A^{(e)\nu}J^{(s)}_\nu$


И, наконец, сам Гамильтониан:

$H_{int}=\int d^3 r \mathcal{H}_{int}=\int d^3 r A^{(e)\nu}J^{(s)}_\nu=\int d^3 r \left(\phi^{(e)}\rho^{(s)}-\vec{A}^{(e)}.\vec{J}^{(s)}\right)$

Буду благодарен за любые полезные комментарии. Спасибо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group