2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Аналитическая функция со спец. поведением в полуплоскости.
Сообщение29.06.2017, 08:26 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
В соседней теме про струну (ПРР) возникла любопытная задачка. Не хитрая, но, как мне кажется, довольно типичная.
Пусть в полуплоскости $\operatorname{Re} z > 0$ имеется аналитическая функция $f(z)$. Причем, для любого $x > 0$ имеет место неравенство
$$
|f(z) e^{xz}| \leqslant A(x) (1 + |z|)^{B(x)}.
$$
Проще говоря, для любого фиксированного $x > 0$, функция $f(z) e^{xz}$ может расти по $z$ не быстрее некоторой степени (зависит от $x$).
Докажите, что $f(z) \equiv 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция со спец. поведением в полуплоскости.
Сообщение04.07.2017, 21:52 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
sup
На мнимой оси функция растет не быстрее многочлена.
Поделив на подходящую степень $(1+z)^n$, сведем к случаю "функция ограничена на мнимой оси, и не боле $M$ там". По фрагментарному Линделёфу, левая часть везде не боле $M$, так что $\left\lvert f(z)\right\rvert \leqslant M\cdot e^{-x  \operatorname{Re}z}$, для всех $x$ . Значить, она - нуль

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция со спец. поведением в полуплоскости.
Сообщение05.07.2017, 07:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
DeBill
Когда Вы делите на нужную степень, Вы фиксируете $x $, а потом оно почему-то любое. Или я что-то не так понял в Вашем рассуждении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция со спец. поведением в полуплоскости.
Сообщение05.07.2017, 14:39 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
ex-math в сообщении #1231652 писал(а):
Это как раз не так страшно: всегда можно сдвинуться чуть правее.

Ага, это я забыл добавить...
ex-math в сообщении #1231614 писал(а):
Когда Вы делите на нужную степень, Вы фиксируете $x $, а потом оно почему-то любое

Ну да, так и есть.
Сначала, при $x=1$, например, получим оценку на степень. Поделим, и получим ограниченность $f$ на мнимой оси (некой константой $M$). Но экспонента на мнимой оси по модулю равна 1, так что и функция $g = f(z) e^{xz}$ на мнимой оси ограничена той же константой, и при всех $x$. По теореме Фрагмена-Линделефа, либо $g$ везде ограничена той же константой, либо имеет порядок роста не менее 1. Но второе - запрещено....

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция со спец. поведением в полуплоскости.
Сообщение08.07.2017, 07:05 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Уважаемые коллеги. Прошу прощения за "позднее включение", но раньше я ответить не мог (по некоторым техническим причинам).
Как я понял, задача уже решена (в точности по той схеме, что я и задумывал). Или же остались вопросы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция со спец. поведением в полуплоскости.
Сообщение08.07.2017, 11:02 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Да, вроде, все там сделали.
План действий такой.
1. Вместо сдвига просто рассматриваем полуплоскость $S = \{\operatorname{Re} z \geqslant 1\}$.
2. Пусть $N > B(1)$. Положим $f_1(z) = f(z)e^z / (1+z)^N$. Тогда в полуплоскости $S$ функция ограничена некоторой константой $M$. И даже максимум модуля достигается на границе $\partial S = \{\operatorname{Re} z = 1\}$.
3. Для всякого $x > 1$ функция $f_1(z)e^{z(x-1)}$ в полуплоскости $S$ растет не быстрее полинома. В силу принципа Фрагмена-Линделефа максимум модуля внутри $S$ не больше, чем на границе $\partial S$. А на границе легко имеем оценку $Me^{x-1}$.
4. Тогда для $\operatorname{Re} z > 1$ имеем $|f_1(z)| \leqslant Me^{(1 -  \operatorname{Re}z)(x - 1)}$. В силу произвольности $x$ для таких $z$ имеем $f_1(z)  = 0$.

DeBill все что надо уже проделал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция со спец. поведением в полуплоскости.
Сообщение08.07.2017, 20:28 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Ненужный оффтоп с просьбами разобраться отделён в отдельную тему.
Если я убрал что-то лишнее, просьба извинить и оставлять жалобы на этот пост.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция со спец. поведением в полуплоскости.
Сообщение09.07.2017, 08:30 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
sup
Можно и не рассматривать полуплоскость $\operatorname{Re} z\geqslant 1$. Просто вместо значений на граничной прямой $\operatorname{Re} z=1$ говорить о верхнем пределе модуля функции на $\operatorname {Re} z=0$, как в теореме Фрагмена-Линделёфа и делается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция со спец. поведением в полуплоскости.
Сообщение09.07.2017, 10:44 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Да, конечно. Просто я пытался уж совсем-совсем упростить ситуацию (чтобы избежать лишних вопросов), но, как Вы видели, безуспешно ...

(Оффтоп)

Я с самого начала отметил, что задача не хитрая. Для профессионалов так, на один зубок. Но, для тех, кто не привык размахивать такой дубиной как принцип Ф.-Л., могла бы показаться интересной.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group