Пара вопросов, линейная алгебра

[xjar1]

Всем привет, читая Кострикина недопонял некоторые моменты.
Когда мы определяем внешнюю прямую сумму пространств, чем отличается $U \oplus W$ от $U \times W$? Тем, что на $U \times W$ мы дополнительно должны ввести операции? Но ведь часто записываем векторное пространство как множество, т.е. $V$, а не $(V, + ,{ \cdot_F})$.
И еще, как я понял мы можем вводить понятие факторпространства двумя способами. Правильно я понимаю, что Множество смежных классов $=$ классы по отношению эквивалентности?
Спасибо.

[Slav-27]

xjar1 в сообщении #1230721 писал(а):

чем отличается $U \oplus W$ от $U \times W$?

Вероятно, я не понял ваш вопрос. Что такое $U \oplus V$ и что такое $U\times V$? Может быть, имеется в виду, что $U$ и $V$ -- это обозначения множеств (ceci n'est pas une pipe!), а векторные пространства предлагается обозначать как-то страшно, вроде $(U, +_U, {\cdot_F}_U)$ и $(V, +_V, {\cdot_F}_V)$. В таком случае было бы "правильно" писать не $U\oplus V$, а $(U, +_U, {\cdot_F}_U) \oplus (V, +_V, {\cdot_F}_V)$, и писали бы: пусть есть два векторных пространства над полем $F$, а именно $(U, +_U, {\cdot_F}_U)$ и $(V, +_V, {\cdot_F}_V)$; тогда, по определению, называется их прямой суммой и обозначается через $(U, +_U, {\cdot_F}_U)\oplus(V, +_V, {\cdot_F}_V)$ векторное пространство над полем $F$, которое как множество есть $U\times V$, а операции на нём... и т. д.... Писать так неудобно, поэтому обычно обозначают одной и той же буквой и векторное пространство, и соответствующее множество.

Может быть ещё вот что. Вообще-то есть два разных понятия: внешняя прямая сумма семейства векторных пространств и прямое произведение семейства векторных пространств. Разница вот какая: у каждого элемента прямой суммы должно быть не более чем конечное число ненулевых компонент, а у элемента прямого произведения их может быть сколько угодно. Но если пространств в семействе конечное количество (например два), то внешняя прямая сумма и прямое произведение -- одно и то же.

(Оффтоп)

Почему такие два понятия? Потому что прямое произведение векторных пространств -- это произведение в категории векторных пространств над данным полем, а прямая сумма -- копроизведение.

-- 30.06.2017, 20:26 --

xjar1 в сообщении #1230721 писал(а):

Правильно я понимаю, что Множество смежных классов $=$ классы по отношению эквивалентности?

Непонятно, что вы имеете в виду. Что значит "множество = классы"?

[iifat]

Ээээ... А в чём, стесняюсь спросить, вы вообще увидели сходство?

xjar1 в сообщении #1230721 писал(а):

ведь часто записываем векторное пространство как множество

Исключительно для краткости, полагаю, коя не должна вводить вас в заблуждение. Да, часто векторное пространство обозначается тою же буквой, что и множество векторов; однако это вовсе не означает, что это одно и то же.

[arseniiv]

Можно добавить, что носитель любой фактор-штуки — конечно же, если этого не было заметно сразу, фактормножество по какому-то отношению эквивалентности $\sim$. На элементах произвольного множества у нас нет никаких операций и отношений, так что и всё на этом — но, например, у групп есть операция, и для того, чтобы от факторгруппы можно было получить что-то новое по сравнению с простым фактормножеством, $\sim$ должно быть совместимо с групповой операцией: $x\sim y\Rightarrow \forall a(xa\sim ya\wedge ax\sim ay)$ ($x, y, a$, разумеется, берутся из интересующей группы). Из этого последует, что факторгруппу можно задать не таким отношением, а с помощью нормальной подгруппы $H$: скажем, что $x\sim_H y$, если и только если умножением на какой-то элемент $H$ можно получить $y$ из $x$ — иначе говоря, $xy^{-1}\in H$. Можно показать, что это действительно отношение эквивалентности, и также мы видим, что из $x\sim_H y$ следует $xa\sim_H ya$, так как $xa(ya)^{-1} = xaa^{-1}y^{-1} = xy^{-1}\in H$ и также следует $ax\sim_H ay$, ибо $(ax)^{-1}ay = x^{-1}a^{-1}ay = x^{-1}y = (xy^{-1})^{-1}\in H$. Дальше можно ввести на фактормножестве $G/\sim_H$ свою групповую операцию, совместимую с операцией в $G$ и $\sim_H$ (тут нам как раз понадобится совместимость самого $\sim_H$ с ней — без совместимости ничего не выйдет) и переформулировать, наконец, определение факторгруппы в стандартном виде.

Линейное пространство — это абелева группа с ещё одной дополнительной операцией умножения на элементы заданного поля $K$ etc. etc., и здесь для совместимости отношения эквивалентности $\sim$ с его структурой потребуется ещё и $x\sim y\Rightarrow\forall\lambda\in K(\lambda x\sim\lambda y)$. Тут тоже можно дойти до стандартного определения факторпространства (получая отношение эквивалентности совершенно так же как для группы), так что никаких двух способов не получится. Пожалуй, единственное, что я не описал — это как убедиться, что структура (операция для группы, обе операции для векторного пространства и т. д.) на фактор-штуке вводится единственным образом.

[SomePupil]

xjar1 в сообщении #1230721 писал(а):

Когда мы определяем внешнюю прямую сумму пространств, чем отличается $U \oplus W$ от $U \times W$? Тем, что на $U \times W$ мы дополнительно должны ввести операции?

Я тоже думал над этим вопросом, когда читал Кострикина, и пришел к выводу, что, по сути, они ничем не отличаются. У нас с Вами одинаковое понимание этого вопроса.

xjar1 в сообщении #1230721 писал(а):

Правильно я понимаю, что Множество смежных классов $=$ классы по отношению эквивалентности?

Правильно. И еще, я пришел к выводу, что принципиальной разницы между $V/U$ и $W$, где $V=U\oplus W$ в конечномерном случае $-$ нет. Возможно, способность строить дополнения до $V$ инвариантым образом будет очень полезна в крутых теориях, но до них я еще не добрался.

-- 01.07.2017, 08:40 --

P. S. Эти факторштуки: факторпространства, факторгруппы, факторкольца/идеалы (не удивлюсь, если наткнусь на факторалгебры) строятся сходным образом. Когда дойдете до второй какой-нибудь факторштуки, не сомневаюсь, что Вы уловите сходство, ТС.

[Munin]

Н. Вавилов. Конкретная теория групп. (First Draught)
пишет (стр. 42):

Цитата:

4. Прямое произведение $\ne$ прямая сумма. Для случая конечных абелевых групп во многих книгах термины 'прямое произведение' и 'прямая сумма' используются как синонимы. Дело в том, что прямое произведение и прямая сумма являются, соответственно, произведением и копроизведением в категории абелевых групп и для конечного числа факторов (сомножителей или слагаемых) они действительно совпадают. Это создает у начинающих опасные иллюзии. Однако, во-первых, в категории всех групп копроизведение устроено гораздо сложнее — это свободное произведение, которое мы построим в Главе X. Во-вторых, в случае бесконечного числа факторов даже для абелевых групп следует различать прямое произведение и прямую сумму. Как правило, они не только не изоморфны, но даже имеют разную мощность!

А именно, прямое произведение $\prod G_\alpha,\alpha\in\Omega,$ семейства групп $G_\alpha,\alpha\in\Omega,$ как множество совпадает с их декартовым произведением, т. е. состоит из всех семейств $(g_\alpha),\alpha\in\Omega,g_\alpha\in G_\alpha.$ В то же время прямой суммой (копроизведением) абелевых групп $G_\alpha$ называется подгруппа в $\bigoplus G_\alpha,\alpha\in\Omega,$ состоящая не из всех семейств $(g_\alpha),$ а только из таких семейств, что $g_\alpha=0$ для почти всех $\alpha.$ Например, если множество $\Omega$ и все группы $G_\alpha$ счетны, то $\bigoplus G_\alpha$ тоже счетна, в то время как $\prod G_\alpha$ имеет мощность континуума. Прямая сумма абелевых групп является частным случаем конструкции ограниченного прямого произведения групп, которую мы тоже изучим в Главе X. При этом начинающему следует иметь в виду, что в теории групп $G^\Omega$ как правило обозначает прямую сумму $|\Omega|$ экземпляров группы $G,$ а вовсе не их прямое произведение! Например, $\mathbb{Z}^\mathbb{N}$ или $\mathbb{Z}^\omega$ используется для обозначения свободной абелевой группы счетного ранга.

[arseniiv]

SomePupil в сообщении #1230861 писал(а):

Эти факторштуки: факторпространства, факторгруппы, факторкольца/идеалы (не удивлюсь, если наткнусь на факторалгебры) строятся сходным образом.

Вот-вот (см. выше)! (Кстати, почему «факторкольца/идеалы»? Просто факторкольца, а идеалы для их построения выполняют ту же роль, что нормальные подгруппы для факторгрупп.) И да, есть и факторалгебры, и фактор-$X$ для любых $X$, образующих категорию (впрочем, для этого, кажется, есть несколько определений, одно из которых требует как минимум существования в категории объекта $X\times X$, но я имел в виду просто понятие, двойственное подобъекту, для которого годится любая категория, уж тут точно).

Пример факторалгебры: внешнюю (грассманову) алгебру $\Lambda(V)$ на векторном пространстве $V$ можно построить как факторалгебру тензорной $T(V)/\langle v\otimes v : v\in V\rangle$, где $\langle v\otimes v : v\in V\rangle$ — наименьший идеал $T(V)$, содержащий множество $\{v\otimes v : v\in V\}$.