Распространение импульса по полубесконечной струне

[Munin]

Так, я понял свою ошибку. Теперь беру паузу на подумать (если не лень будет вообще).

[Astroid]

Ну, если представлять силу в виде произведения двух дельта-функций, возникают проблемы.
Решение соответствующего однородного ДУ выходит такое: $\tilde{u}=C\sin{\sqrt{p^2+\alpha}x}$ и коэффициент остается неопределенным. Также не понятно как искать частное решение для правой части вида $A\delta (x)$.
А то, о чем вы говорили с Munin, я тоже не совсем понял. В теории интегральных уравнений я слабо ориентируюсь, особенно когда речь заходит о функции Грина.

[sup]

Во-первых. Как ведет себя решение вашего уравнения при $t \to \infty$? С какой скоростью оно может расти? Можно показать, что оно растет не быстрее некоторой экспоненты. Тогда функция $\tilde u $ должна быть ограниченной в некоторой полуплоскости вида $\operatorname{Re} p > \delta > 0$. Вот поэтому никакого произвола с постоянной там не возникнет. Но! Даже если Вы не можете установить порядок роста решения, чтобы сделать преобразование Лапласа (а потом еще и обратить его), Вам придется сделать какие-то предположения относительно поведения $\tilde u $. Что нужно потребовать от $\tilde u $, чтобы сделать обратное преобразование Лапласа?

Во-вторых. Дельта-функция в правой части "перекачивается" в неоднородное краевое условие. Посмотрите там выше я уже приводил пример. Попробуйте самостоятельно сообразить какое краевое условие возникнет (ну, а дельта-функция из правой части уйдет). Подсказка. Дельта-функция --- это производная от ступеньки. В уравнении имеется производная. Делайте выводы.

Ну а функция Грина ... Это просто один из способов выписать решение уравнения с произвольной правой частью. В случае "чистого" волнового уравнения это возможно (формула Даламбера). Я потому и привел его в пример, что для него многое можно проанализировать в явном виде. В Вашем случае так просто выписать вряд ли получится.

[Munin]

Astroid в сообщении #1229632 писал(а):

В теории интегральных уравнений я слабо ориентируюсь, особенно когда речь заходит о функции Грина.

Вообще-то это теория дифференциальных уравнений, и функция Грина - один из основных методов решения именно дифуров типа вашего. То, что вы в ней "плохо ориентируетесь" - это вам должно быть стыдно, и должно стимулировать перечитать учебный материал.

(Правда, вот я тоже лажанул, и мне стыдно... )

[Astroid]

sup в сообщении #1229662 писал(а):

Во-первых. Как ведет себя решение вашего уравнения при $t \to \infty$? С какой скоростью оно может расти? Можно показать, что оно растет не быстрее некоторой экспоненты. Тогда функция $\tilde u $ должна быть ограниченной в некоторой полуплоскости вида $\operatorname{Re} p > \delta > 0$. Вот поэтому никакого произвола с постоянной там не возникнет. Но! Даже если Вы не можете установить порядок роста решения, чтобы сделать преобразование Лапласа (а потом еще и обратить его), Вам придется сделать какие-то предположения относительно поведения $\tilde u $. Что нужно потребовать от $\tilde u $, чтобы сделать обратное преобразование Лапласа?

Во-вторых. Дельта-функция в правой части "перекачивается" в неоднородное краевое условие. Посмотрите там выше я уже приводил пример. Попробуйте самостоятельно сообразить какое краевое условие возникнет (ну, а дельта-функция из правой части уйдет). Подсказка. Дельта-функция --- это производная от ступеньки. В уравнении имеется производная. Делайте выводы.

Ну, от конкретно своего решения я ожидаю условно что-то похожее на затухающую пропорционально $x$ волну. Вообще говоря, конечно, решение должно меняться не быстрее какой-то экспоненты.

По поводу "перекачки" в краевое условия опять не понял. Можете сослать меня на какой-нибудь учебник/интернет-ресурс, в котором эта тема описана в подробностях?

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1229758 писал(а):

Вообще-то это теория дифференциальных уравнений, и функция Грина - один из основных методов решения именно дифуров типа вашего. То, что вы в ней "плохо ориентируетесь" - это вам должно быть стыдно, и должно стимулировать перечитать учебный материал.

Да, тут я тоже не прав, видимо. Всегда эту тему обходил стороной, каюсь. Но ведь правильно заданный вопрос — это важный шаг на пути к поиску ответа, верно? Как и понимать, в чем разбираешься, а чем нет.

[svv]

(Оффтоп)

А давайте пусть никому не будет стыдно (все ошибаются, каждый чего-то не знает), пусть всем будет просто интересно.

[Munin]

В общем, нужно две функции Грина. Одна вправо, другая влево. Я продолжаю считать, что при любой правой части решение будет, но пока не готов расписать.

[sup]

svv в сообщении #1230067 писал(а):

А давайте пусть никому не будет стыдно (все ошибаются, каждый чего-то не знает), пусть всем будет просто интересно.

+1. Если бы все все знали и никогда не ошибались разговаривать вообще было бы не о чем.

Начнем с $\tilde u (p,x)$. Будем предполагать, что $u (t,x)$ ограничено некоторой экспонентой $e^{at + bx}$. Вот Ваше уравнение

$$ (p^2 + \alpha) \tilde u = u_{xx} + \delta (x). $$

Общее решение однородного уравнения

$$ \tilde u = C_1(p)e^{x\sqrt{p^2 + \alpha}} + C_2(p)e^{-x\sqrt{p^2 + \alpha}} $$

Первое слагаемое растет по $x$ слишком быстро (для "больших" $p$), так что остается лишь одно слагаемое. И одно краевое условие. Все в порядке.
Дальше. Давайте порассуждаем нестрого.
Вот в уравнении фигурирует $\delta(x)$. А откуда она может вообще появиться? Это производная от ступеньки. Может ли левая часть уравнения породить эту дельта-функцию? Тогда само решение $\tilde u (p,x)$ уже содержало бы ее. Ну а тогда производная $\tilde u_{xx}$ была бы еще "хуже". Стало быть дельта-функция взялась из $\tilde u_{xx}$. Это производная от $\tilde u_{x}$. А значит в точке $x = 0$ функция $\tilde u_{x}$ испытывает скачок равный $-1$. (Не $+1$, а именно $-1$). На краю эта производная была равна 0, и тут же скачок. В результате приходим к задаче $(*)$

$$ \begin{align} &(p^2+ \alpha) \tilde u = u_{xx}\\ &\tilde {u}_x(0) = -1 \end{align} $$

Решение этой задачи выписывается совершенно элементарно.
Но ведь все это нестрого. Как обосновать? А вдруг в другой раз будет что-то похитрее, и так просто "угадать" не получится.
Чтобы обосновать такие рассуждения, надо вспомнить, что такое обобщенные функции. Это функционалы. Пусть $\delta(x)$ временно означает какую-нибудь "нормальную" функцию. Тогда в уравнении никаких безобразий нет. Все как обычно. Давайте рассмотрим произвольную пробную функцию $\varphi(x)$ с ограниченным носителем. Тогда

$$ \int \limits_0^{\infty } (p^2 + \alpha) \tilde u \varphi(x) \,dx = \int \limits_0^{\infty } \tilde {u}_{xx} \varphi(x) \,dx + \int \limits_0^{\infty } \delta(x) \varphi(x) \,dx $$

А вот теперь предлагаю такой план.
1. Проинтегрируйте интеграл со второй производной по частям (один раз).
2. В полученном равенстве "нормальную" $\delta(x)$ замените на "настоящую". После этого соответствующее слагаемое можно явно сосчитать.
Полученное равенство и есть интегральный ЭКВИВАЛЕНТ исходного уравнения с дельта-функцией. Если угодно, можно считать, что мы рассмотрели серию "нормальных" задач, у которых носитель правой части стягивается в точку.
3. Проанализируйте полученное равенство, с учетом произвольности $\varphi(x)$.
В результате у Вас должна возникнуть та самая задача $(*)$. Если уж совсем непонятно, напишите интегральное тождество с пробной функцией и для задачи $(*)$. Убедитесь, что интегральные тождества совпадают.

[Astroid]

sup, вот сейчас понял! Что-то перещелкнуло в голове, идея стала понятной, спасибо за подробности. Не сталкивался раньше с такими приемами, честно сказать, но выглядит очень интересно.
Только вот небольшой вопрос по самой простой части Ваших рассуждений: общее решение однородного уравнения все же должно быть периодическим, разве нет?
Ваше же уравнение:

$$(p^2+\alpha)\tilde{u} = \tilde{u}_{xx}$$

Должно решаться в виде

$$\tilde{u} = C_1e^{ix\sqrt{p^2+\alpha}}+C_2e^{-ix\sqrt{p^2+\alpha}}$$

из-за знака $-$.
А в таком случае отбрасывать "слишком быстро растущий член" мы не можем.

[sup]

Вы что-то напутали. Пусть $\alpha = 0$ и $p=1$. Откуда там возьмутся комплексные экспоненты?
Более того, преобразование Лапласа определено для всяких комплексных $p$, таких что $\operatorname{Re} p > \sigma > 0$. И изображение должно быть аналитической функцией в этой полуплоскости. Так что даже если под корнем возникнет вещественное отрицательное число, то значения $\tilde u$ определятся однозначно по непрерывности.

-- Ср июн 28, 2017 19:51:42 --

Вообще, пользуясь случаем хотел бы отметить одну тонкость, которая часто ускользает от студентов. Проблема эта носит общий характер, но я рассмотрю лишь очень простой пример.
Вот у нас есть задача на полуоси $x > 0$

$$ \begin{align} &y'(x) = \delta (x), \\ &y(0) = 0. \end{align} $$

Ну, для "грамотного" человека дельта-функция не проблема, и вроде бы все тут неплохо. Однако это не совсем так. Проблема не в уравнении. Проблема в краевом условии.
Начнем с того, что работа с дельта-функцией предполагает различные интегральные тождества. Но тогда всякие функции определены лишь с точностью до множества меры 0. В частности, всякую функцию можно как угодно переопределить в любой точке. И что же тогда означает краевое условие? Как его понимать?
Чаще всего с этой проблемой справляются следующим образом. Ясно, что мы имеем дело не с функцией, а с классом эквивалентных функций (отличающихся не более чем на множестве меры 0). Так вот, мы просто требуем, чтобы в этом самом классе была непрерывная функция. Тогда и значение в точке будет корректно определено.
Но в нашем случае и этот подход не работает. Ведь в правой части дельта-функция, а значит искомое решение гарантированно не будет непрерывным. Все это означает, что придать смысл краевому условию не так то и просто. Требуется специальное обоснование. Так вот, есть только один четкий и ясный способ. Это интегральное тождество с пробными функциями. То, что я выше и продемонстрировал.

[Astroid]

sup
Все верно, это меня спросонья переклинило немного.
Я почему-то подумал, что у меня будет экспонента вот такого вида $e^{\sqrt{-(p^2+\alpha)}}$, а знак-то там все-таки должен быть $+$.
А по поводу интегральных условий я вроде бы понял. Вообще странно получается, задача сугубо физическая, а постановка задачи такая расплывчатая, не интуитивная, в первый раз с таким сталкиваюсь. Ну, быть может, не интуитивная она только для меня, но все же.