2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Док-во критерия нормальности подгруппы из книги "т-ма Абеля"
Сообщение25.05.2017, 08:31 


21/02/16
483
В книге есть задача (№101):
Подгруппа $N$ группы $G$ является нормальной подгруппой тогда и только тогда, когда левое и правое разложения группы $G$ по подгруппе $N$ совпадают.

Я легко доказал в одну сторону (если $N$ нормальная, то левое и правое разложения совпадают), но долго бился с док-вом в другую сторону, и в итоге посмотрел ответ в конце книги. И он оставил меня в недоумении. Привожу его тут:

Изображение

"Так как классы $gN$ и $Ng$" имеют общий элемент $g$, то они должны совпадать" - с чего бы это? Берем единицу $e\in N$, тогда $ge=eg$, и получается что левый и правый смежные классы по любой подгруппе, порожденные $g$, всегда равны. И это в любой группе $G$, коммутативной или нет. Но это ведь не так?
Если что я успешно доказал ранее задачу 82, но там ведь про совпадение двух левых смежных классов при наличии общих элементов, а тут левый и правый.

Вообще я уже давно хотел обсудить тут эту книжку и вообще основы теории групп, у меня есть еще вопросы, но их я озвучу позже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во критерия нормальности подгруппы из книги "т-ма Абеля"
Сообщение25.05.2017, 09:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
irod в сообщении #1218689 писал(а):
"Так как классы $gN$ и $Ng$" имеют общий элемент $g$, то они должны совпадать" - с чего бы это?
Это как раз следует из того, что разложения совпадают, т.е. каждый левый смежный класс равен какому-то правому. Различные правые смежные классы не пересекаются, так что в этом случае если левый класс пересекается с правым, то они равны.
В общем случае это, конечно, неверно

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во критерия нормальности подгруппы из книги "т-ма Абеля"
Сообщение25.05.2017, 09:09 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
irod в сообщении #1218689 писал(а):
когда левое и правое разложения группы $G$ по подгруппе $N$ совпадают.

Как Вы трактуете эту фразу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во критерия нормальности подгруппы из книги "т-ма Абеля"
Сообщение25.05.2017, 18:05 


21/02/16
483
Xaositect
большое спасибо, теперь я понял.

SomePupil
Трактую как равенство $\{gN\mid g\in G\}=\{Ng\mid g\in G\}$, что означает следующее:
1) для любого $g\in G$ найдется $g'\in G$ такой что $gN=Ng'$;
2) для любого $g'\in G$ найдется $g\in G$ такой что $gN=Ng'$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во критерия нормальности подгруппы из книги "т-ма Абеля"
Сообщение25.06.2017, 11:06 


21/02/16
483
Что-то не дается мне эта тема про нормальные подгруппы. Бьюсь уже долго над следующей задачей (№102):

Пусть $n$ - порядок группы $G$, $m$ - порядок подгруппы $H$, и $m=n/2$. Доказать, что $H$ является нормальной подгруппой группы $G$.

В ответах в конце книги указание: в этом случае левое и правое разложение содержат 2 класса: один - данная подгруппа, второй - все остальные элементы. Далее см. теорему 2 (это предыдущая задача №101, ради которой я и создал эту тему).

Мои попытки.
То что $GH$ и $HG$ содержат $H$ - это очевидно (надо просто взять $e\in G$: $eH=He=H$). А вот как доказать что $GH$ и $HG$ кроме $H$ содержат все остальные элементы?
Далее неструктурированный поток мыслей и идей, которые я пытался использовать (до и после прочтения указания из ответов), но они меня пока ни к чему ни привели. Это все в основном доказанные мной предыдущие задачи.
Любой внутренний автоморфизм - это изоморфизм. Легко доказать, что изоморфизм переводит подгруппу в подгруппу, т.е. для произвольного $g\inG$ $gHg^{-1}$ есть подгруппа группы $G$, причем порядок этой подгруппы равен порядку подгруппы $H$, т.е. $m$. Может ли в $G$ существовать другая подгруппа порядка $m$ кроме $H$? Вроде этого ничто не запрещает. Порядки образа и прообраза любого элемента при изоморфизме равны. Порядок элемента является делителем порядка (под-)группы - это теорема Лагранжа. Порядки элементов $gh$ и $hg$ равны.

Хелп ми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во критерия нормальности подгруппы из книги "т-ма Абеля"
Сообщение25.06.2017, 11:10 
Заслуженный участник


08/04/08
8556

(старые темы)

http://dxdy.ru/topic46333.html
topic49676.html


irod в сообщении #1229446 писал(а):
В ответах в конце книги указание: в этом случае левое и правое разложение содержат 2 класса: один - данная подгруппа, второй - все остальные элементы. Далее см. теорему 2 (это предыдущая задача №101, ради которой я и создал эту тему).
Это практически полное решение этой задачи.
Просто выпишите список всех левых классов и список всех правых классов и посмотрите на него.

irod в сообщении #1229446 писал(а):
То что $GH$ и $HG$ содержат $H$ - это очевидно (надо просто взять $e\in G$: $eH=He=H$). А вот как доказать что $GH$ и $HG$ кроме $H$ содержат все остальные элементы?
Зачем вообще рассматривать $GH, HG$? Для любых групп $G$ и их подгрупп $H$ $GH=HG=G$, докажите это ради интереса. Вы отсюда просто ничего не получите.

irod в сообщении #1229446 писал(а):
Может ли в $G$ существовать другая подгруппа порядка $m$ кроме $H$?
Может, но это все не то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во критерия нормальности подгруппы из книги "т-ма Абеля"
Сообщение25.06.2017, 21:12 


21/02/16
483
Sonic86
большое спасибо, теперь разобрался почему только левых и правых классов только 2.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group