2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определение симметричности на отношении
Сообщение18.06.2017, 12:47 


18/06/17
1
Вот задача: На множестве хирургов $a,b$ задано отношение $R:\lbrace a,b: a$ не может ассистировать $b \rbrace$
По заданию нужно определить рефлексивность, симметричность и транзитивность.
Это отношение рефлексивное: хирург $a$ не может ассистировать сам себя
Транзитивность не определяется
Симметричность - неизвестно.

Я написал, что симметрично, исходя из определения симметричности, (хирург $a$ не может ассистировать $b$, $b$ не может ассистировать $a$), но преподаватель сказал, что это неправильный ответ. Не могу понять каким оно является.
Антисимметричность не подходит, потому что тогда хирург $a$ не может ассистировать $b$, следовательно $b$ может ассистировать $a$, что не вяжется с определением антисимметричности
Асимметричность тоже не подходит, потому что для любого хирурга $a$ и хирурга $b$ одновременное выполнение этого условия возможно, что не вяжется с определением асимметричности

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение симметричности на отношении
Сообщение18.06.2017, 13:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
dominatorsha в сообщении #1226749 писал(а):
Симметричность - неизвестно.
Во-первых, Преподаватель прав -- никаких симметричных ограничений отношение не содержит. Во-вторых, какое-либо отношение совсем не обязано удовлетворять одному из свойств, относящихся к симметричности; оно вполне может одновременно не быть симметричным, не быть асимметричным, не быть антисимметричным и т.п. В-третьих, Вас, если следовать букве условия, на все эти (а)(анти)симметричности проверять не просят (впрочем, конечно, лучше это сделать).

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение симметричности на отношении
Сообщение18.06.2017, 13:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
dominatorsha в сообщении #1226749 писал(а):
Я написал, что симметрично
Вполне может быть, что $a$ не может ассистировать $b$, но $b$ может ассистировать $a$. Симметричности нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение симметричности на отношении
Сообщение18.06.2017, 18:31 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
grizzly в сообщении #1226765 писал(а):
оно вполне может одновременно не быть симметричным, не быть асимметричным, не быть антисимметричным
Асимметричное — это же просто не симметричное. Антисимметричным и симметричным точно не обязано быть, а вот либо асимметричным, либо симметричным — увы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение симметричности на отношении
Сообщение18.06.2017, 21:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
arseniiv в сообщении #1226842 писал(а):
либо асимметричным, либо симметричным
Ой-ой, спасибо. Меня что-то на одной волне понесло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение симметричности на отношении
Сообщение19.06.2017, 00:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Кстати, в той книжке, из которой я впервые узнала все эти определения, "асимметричность" и "не симметричность" различались. Но, кажется, эта терминология устарела/не прижилась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение симметричности на отношении
Сообщение23.06.2017, 13:00 
Аватара пользователя


14/10/13
339
arseniiv в сообщении #1226842 писал(а):
grizzly в сообщении #1226765 писал(а):
оно вполне может одновременно не быть симметричным, не быть асимметричным, не быть антисимметричным
Асимметричное — это же просто не симметричное.
Я привык, что асимметричное отношение - то, которое никогда не содержит одновременно пар $(x,y)$ и $(y,x)$ (в частности, из асимметричности сразу следует антирефлексивность).

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение симметричности на отношении
Сообщение23.06.2017, 19:32 
Аватара пользователя


10/05/17

113
popolznev в сообщении #1228765 писал(а):
Я привык, что асимметричное отношение - то, которое никогда не содержит одновременно пар $(x,y)$ и $(y,x)$ (в частности, из асимметричности сразу следует антирефлексивность).
Если с кванторами не дружить, то ко всему можно привыкнуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение симметричности на отношении
Сообщение23.06.2017, 23:41 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
popolznev в сообщении #1228765 писал(а):
Я привык, что асимметричное отношение - то, которое никогда не содержит одновременно пар $(x,y)$ и $(y,x)$ (в частности, из асимметричности сразу следует антирефлексивность).
Это как раз антисимметричное, и тут разночтений в текстах, вроде, никогда не было.

-- Сб июн 24, 2017 01:43:39 --

Притом тут в терминологии всё параллельно: антикоммутативность ($a*b = -b*a$, в отличие от некоммутативности, которая просто отсутствие коммутативности), упомянутая вами антирефлексивность…

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение симметричности на отношении
Сообщение24.06.2017, 09:58 
Аватара пользователя


14/10/13
339
arseniiv в сообщении #1229051 писал(а):
popolznev в сообщении #1228765 писал(а):
Я привык, что асимметричное отношение - то, которое никогда не содержит одновременно пар $(x,y)$ и $(y,x)$ (в частности, из асимметричности сразу следует антирефлексивность).
Это как раз антисимметричное…

Антисимметричное обычно определяют иначе: из $(x,y) \in \rho \wedge (y,x) \in \rho$ следует $x=y$. Да, в таком случае оно получается не очень-то "анти-" (это к последнему вашему замечанию), но такова наблюдаемая мной в учебниках реальность. Я сегодня попозже пороюсь в книжках и приведу примеры - где как.

-- 24.06.2017, 10:04 --

Ну вот, для начала: Дж. Андерсон, Дискретная математика и комбинаторика.
Цитата:
Отношение $R$ называется антисимметричным, если для всех $a$ и $b$ из $A$, из принадлежности $(a,b)$ и $(b,a)$ отношению $R$ следует, что $a=b$.

То же самое у Белоусова и Ткачева в "Дискретной математике" (это учебник из бауманской серии "Математичка в техническом университете"):

Цитата:
Бинарное отношение $\rho$ на множестве $A$ называют: (...) антисимметричным, если для любых $x,y\in A$ из одновременной справедливости $x \rho y$ и $y \rho x$ следует, что $x=y$.

Другие примеры потом, сейчас времени нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение симметричности на отношении
Сообщение24.06.2017, 10:54 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
А, да-да, я что-то не вчитывался и не подумал даже, что есть смысл выделять ещё одну «градацию». Виноват. Действительно, выходит три специальных случая: симметричность, противоречащая антисимметричности, которая может быть усилена до асимметричности добавлением антирефлексивности. В принципе, можно понять, почему мне не попалась она, раз это просто конъюнкция того и того.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение симметричности на отношении
Сообщение24.06.2017, 11:26 
Аватара пользователя


14/10/13
339
arseniiv в сообщении #1229144 писал(а):
В принципе, можно понять, почему мне не попалась она, раз это просто конъюнкция того и того.
Если "она" - это (как я понял) асимметричность, которая антисимметричность + антирефлексивность, то да - это понятие редко встречается. Вот в тех двух учебниках, что я процитировал, его нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение симметричности на отношении
Сообщение24.06.2017, 11:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Добавлю ещё для полноты картины:
англовики про асимметрию писал(а):
Asymmetry is not the same thing as "not symmetric": the less-than-or-equal relation is an example of a relation that is neither symmetric nor asymmetric.
Таким же образом понимает асимметрию и MathWorld. Это вполне авторитетный источник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение симметричности на отношении
Сообщение24.06.2017, 11:51 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
popolznev в сообщении #1229152 писал(а):
Если "она" - это (как я понял) асимметричность
Да, она. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group