2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы
Сообщение22.06.2017, 13:22 


22/05/16
171
Здравствуйте ! Вот собственно задача. Найти множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы $x^2-2y^2=1$, параллельных прямой $2x-y=0$. Взял точку на гиперболе $A_1(1,0)$ и симметричная $A_2(-1,0)$. Провел прямые параллельные заданной $y=2x-2,y=2x+2$. Подставил в уравнение, получил $x^2-2(2x-2)^2=1,x^2-2(2x+2)^2=1$. Решил два уравнения получил две точки $B_1(\frac{9}{7},\frac{4}{7})$ и симметричная $B_2(-\frac{9}{7},-\frac{4}{7})$. Второе можно было и не решать воспользоваться тем, что есть симметричная точка? Нашел середины отрезков $A_1B_1$ и $A_2B_2$ точки $M_1(\frac{8}{7},\frac{2}{7})$ $M_2(-\frac{8}{7},-\frac{2}{7})$. По точкам $M_1,M_2$ построил прямую. Получил $x-4y=0$. Я думаю, что задача решена верно? В моем решении есть проблема квадратное уравнение мне повезло, что корни получились хорошие. Вопрос состоит в том, а можно проще и как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы
Сообщение22.06.2017, 13:30 
Заслуженный участник


04/03/09
906
dima_1985 в сообщении #1228315 писал(а):
По точкам $M_1,M_2$ построил прямую.

Почему прямую? Почему не кривую, параболу там какую-нибудь? То, что это должна быть именно прямая, вам и надо доказать. Надо рассматривать не две какие-то хорды, которые вам понравились, а вообще все хорды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы
Сообщение22.06.2017, 14:03 


22/05/16
171
12d3 в сообщении #1228320 писал(а):
Почему прямую? Почему не кривую, параболу там какую-нибудь? То, что это должна быть именно прямая, вам и надо доказать. Надо рассматривать не две какие-то хорды, которые вам понравились, а вообще все хорды

Можно рассуждать так.
1) Рассмотрим все хорды параллельные $y=0$. Тогда центры дынных хорд будут лежать на прямой $x=0$. Так, как прямая $x=0$ являться центром симметрии.
2) Перейдем к новой системе координат $X'O'Y'$повернув старую на $\cos(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{5}}$.А дальше можем рассуждать как в пункте 1.
Вроде так ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы
Сообщение22.06.2017, 14:20 
Заслуженный участник


04/03/09
906
dima_1985 в сообщении #1228339 писал(а):
2) Повернем нашу систему координат на $\cos(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{5}}$.А дальше можем рассуждать как в пункте 1.

Нельзя. Это вы нарассуждали с хордами, параллельными главным осям. А что делать с остальными хордами? Они от поворота всей картинки на какой-то угол не станут параллельными главным осям.
Рассмотрите множество прямых, параллельных заданной в условии, для каждой из этих прямых найдите середину хорды, содержащейся в этой прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы
Сообщение22.06.2017, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Вообще-то, есть стандартная теорема: середины хорд кривой 2-го порядка, параллельных некоторому не асимптотическому ее направлению, лежат на прямой (называемой диаметром, сопряженным этому не асимптотическому направлению). Так что, если знать эту теорему, то двух хорд достаточно. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы
Сообщение23.06.2017, 12:12 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Не так уж сложно убедиться в том, что середины ваших хорд лежат на прямой $x-4y=0$, но есть ещё момент: они не будут заполнять всю эту прямую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы
Сообщение23.06.2017, 14:57 


22/05/16
171
12d3
Попытался воспользоваться алгоритмом, который Вы написали. Рассуждал так, взял обозначил точкой $M(x_0,y_0)$ середину хорд, лежащих на прямых параллельных данной $2x-y=0$. Параметрическое уравнение имеет вид
$
\left\{
\begin{array}{rcl}
x &=&x_0 + t \\
y &=&y_0+2t \\
\end{array}
\right.
$. Возьмем произвольную точку на гиперболе $K(x_1,y_1)$ и ей симметричную $K'(2x_0-x_1,2y_0-y_1)$ относительно $M$.Так как точки $K',K$ принадлежат прямой, получим систему $\left\{
\begin{array}{rcl}
(2x_0-x_0-t)^2-2(2y_0-y_0-2t)^2 &=&1 \\
(x_0+t)^2-2(y_0+2t)^2 &=&1 \\
\end{array}
\right.$. Из второго вычтем первое и получим $4tx-16ty=0$. Вроде так ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы
Сообщение23.06.2017, 15:10 
Заслуженный участник


04/03/09
906
dima_1985 в сообщении #1228818 писал(а):
Из второго вычтем первое и получим $4tx-16ty=0$. Вроде так ?
Уже лучше. Тут можно сократить на $4t$, получим уравнение вполне себе прямой. Однако это еще не конец. Вы пока нашли, что все точки из требуемого множества лежат на прямой. Но надо выяснить, а каждая ли точка этой прямой является серединой какой-либо хорды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы
Сообщение23.06.2017, 18:17 


22/05/16
171
12d3 в сообщении #1228834 писал(а):
Но надо выяснить, а каждая ли точка этой прямой является серединой какой-либо хорды.

Точка $M$ является серединой хорды. Точки $K'$ и $K$ это концы хорды, я таким образом изначально $M$ выбрал чтобы $\frac{K'K}{KM}=\frac{2}{1}$. У нас получается для каждой хорды существует точка $M_1,M_2M_3,M_3..M_n$. Наша прямая проходит через эти точки? Или я что-то недопонимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы
Сообщение23.06.2017, 18:31 
Заслуженный участник


04/03/09
906
dima_1985 в сообщении #1228913 писал(а):
Или я что-то недопонимаю?
Ну вот например, начало координат является серединой какой-то хорды? Наша прямая ведь проходит через начало координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы
Сообщение23.06.2017, 18:49 


22/05/16
171
12d3 в сообщении #1228917 писал(а):
Ну вот например, начало координат является серединой какой-то хорды?

Да, является. Т.е. Вы хотите сказать, что надо взять каждую точку принадлежащей прямой и проверить, что эта точка середина хорды? Сделать тем самым проверку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы
Сообщение23.06.2017, 18:59 
Заслуженный участник


04/03/09
906
dima_1985 в сообщении #1228927 писал(а):
Да, является

Точно-точно? Если да, то каковы координаты концов? Речь идёт о хордах, параллельных заданной в условии прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы
Сообщение23.06.2017, 19:19 


22/05/16
171
Нет, я ошибся. Подставил в параметрическое уравнение прямой $2x-y$ пересечений нет. Я понял это только для внутренних частей гиперболы(правее правой и левее левой)? Нарисовал график и разобрался. Я не учитывал этого раньше. Думал, что прямые будут пересекать две ветви гиперболы. Спасибо Вам!!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group