Не могу понять условия задачи

[student1138]

Есть такая задача:

Цитата:

Пусть бесконечная последовательность действительных чисел $a_0, a_1, a_2, ...$ периодична, начиная с некоторого члена. Показать, что степенной ряд $f(X) = a_0+a_1X+a_2X^2+...$ записывается в виде рациональной дроби из $\mathbb{R}(X)$

Как я понимаю то что написано. Речь, как я понимаю, идет о поле отношений $\mathbb{R}((X))$ кольца формальных степенных рядов. Предлагают показать что любой элемент этого поля вида $\frac{a_0+a_1X+a_2X^2+...}{1}$ равен некоторой рациональной дроби $\frac{f(X)}{h(X)} \in \mathbb{R}(X)$ (как я понимаю $\mathbb{R}(X)$ - подполе в $\mathbb{R}((X))$). Однако, это очевидно не так т.к. при умножении $h(X)$ на степенной ряд получаем бесконечное число слагаемых тогда как в $f(X)$ их только конечное число.

В общем явно неправильно я понял задачу. Что в задаче имеется ввиду на самом деле?

[gris]

А не вылезает ли там нечто, свёртываемое в конечное число членов?

[student1138]

gris в сообщении #1227114 писал(а):

А не вылезает ли там нечто, свёртываемое в конечное число членов?

Не знаю, это из параграфа по поле отношений и про рациональные дроби. В учебнике до этой точки ничего не говорилось про то что степенной ряд можно свернуть в конечное число членов. Т.е. вы хотите сказать что задачу я все-таки понял правильно? И бесконечный ряд периодическеский с некоторого члена можно как-то преврарить в конечный?

[gris]

Ну вот, например, для последовательностей из единичек ряд будет иметь вид $1+x+x^2+x^3+...$. В рамках Вашей теории нельзя ли свернуть его в очевидную дробь? С произнесением соответствующих слов, конечно.

[student1138]

gris в сообщении #1227118 писал(а):

Ну вот, например, для последовательностей из единичек ряд будет иметь вид $1+x+x^2+x^3+...$. В рамках Вашей теории нельзя ли свернуть его в очевидную дробь? С произнесением соответствующих слов, конечно.

Если обозначить $A = 1+x+x^2+x^3+...$ тогда в поле $\mathbb{R}((X))$ действительно получается $\frac{A}{1} = \frac{1}{1-X}$. Т.е. вот мы бесконечное выражение свернули в конечное которое как-раз принадлежит подполю $\mathbb{R}(X)$. Правильно я это понял? Значит скорее всего, используя периодичность заданной последовательности, можно и ее как-то свернуть в конечную дробь. Надо подумать.

[gris]

В формальных рядах вводится инверсия умножения как решение соответствующего уравнения. Раз было произнесено слово "дробь", то про это уже говорилось. Есть некоторые особенности доказательства возможности группировки, вынесения за скобки и тому подобного, но чисто формально это не сложно. Сложнее бывает представить себе ситуацию для специфических колец, но, собственно, ради формализации это и делается.
Начало последовательности не важно, начните с периодической части. И поформальнее, поформальнее

[arseniiv]

student1138 в сообщении #1227125 писал(а):

Надо подумать.

Вспомните, кстати, как периодические десятичные дроби переводят в отношение целых чисел. Идейно одно и то же.

[iou]

Распишите просто явно слова:

student1138 в сообщении #1227113 писал(а):

Пусть бесконечная последовательность действительных чисел $a_0, a_1, a_2, ...$ периодична, начиная с некоторого члена.

И всё сразу станет понятно.

[student1138]

В общем решил я это так:

По аналогии с $A = 1+x+x^2+x^3+... = \frac{1}{1-X}$ легко доказать что $A = 1+x^k+x^{2k}+x^{3k}+... = \frac{1}{1-X^k}$. Далее, обозначим повторяющуюся часть чисел обозначим $p_0, p_1, ... p_k$ и соответствующий им многочлен $P = p_0+ p_1X + ... + p_kX^k$. Тогда степенной ряд можно представить как сумму $A = G + PX^n + PX^nX^{k+1} + PX^nX^{2(k+1)} + PX^nX^{3(k+1)} + ...$, где $G$ - многочлен, соответствующий начальной части ряда, а $n$ - первая степень, с которой начинается периодическая часть ряда. Вынеся за скобки $PX^n$ получим $A = G + PX^n(1 + X^{k+1} + X^{2(k+1)} + ...) = G + PX^n\frac{1}{1-X^{k+1}}=\frac{G(1-X^{k+1})+PX^n}{1-X^{k+1}}$. И числитель и знаменатель дроби принадлежат $\mathbb{R}(X)$

Все правильно?

[arseniiv]

С точностью до арифметики (не всматривался) да. Ура!