Дифференцирование свертки

[Singular]

Можно ли распространить правило дифференцирования свертки $D\left(f*g\right)=Df*g=f*Dg$ на случай линейного дифференциального оператора $A$ (пусть хотя бы с постоянными коэффициентами), т.е. $A\left(f*g\right)=Af*g=f*Ag$ ?

[Singular]

Изложу последовательность своих соображений: пусть $A=\sum{}a_{\alpha}\partial^{\alpha}=a_1\partial+a_2\partial^2+\ldots$ - линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами; $h=f*g$, тогда

$Ah=\left(a_1\partial+a_2\partial^2+\ldots\right)h=a_1\partial{}h+a_2\partial^2h+\ldots=\\= a_1\partial\left(f*g\right)+a_2\partial^2\left(f*g\right)+\ldots=a_1\left(\partial{}f\right)*g+a_2\left(\partial^2f\right)*g+\ldots=\\ =\left(a_1\partial{}f\right)*g+\left(a_2\partial^2f\right)*g+\ldots=\left(a_1\partial{}f+a_2\partial^2f+\ldots\right)*g=Af*g$

Есть ли здесь проблемы с логикой?

[arseniiv]

Почему $a(Df*g) = (aDf)*g$?

[Singular]

Из свойства линейности (умножение на число). Здесь $a$ - коэффициент (число).

[arseniiv]

А, ну если число — то конечно. Я подумал, произвольная функция.