2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенства Белла
Сообщение12.02.2011, 15:30 


12/09/06
617
Черноморск
Это совершенно элементарная вещь, доступная третьекурснику. Но в физике применяется для серьезных вещей по экспериментальному доказательству не применимости теории вероятностей в квантовой механике Неравенства Белла
Рассмотрим неравенства с математической точки зрения. Пусть результате некоторого эксперимента измеряются три случайных двухзначных (т.е. принимающих только два значения $1$ или $-1$) величины $ u(\omega),v(\omega),w(\omega) = ±1$ Здесь $\omega \in \Omega$, $\Omega$ - вероятностное пространство с вероятностной мерой $ \mu$.
Ковариациями случайных величин будем называть числа
$ x = \int\limits_{\Omega} u(\omega)v(\omega) d\mu(\omega) $, $y = \int\limits_{\Omega} u(\omega)w(\omega) d\mu(\omega) $, $z = \int\limits_{\Omega} v(\omega)w(\omega) d\mu(\omega) $.
При этом числа $ x $, $ y $, $ z$ не могут быть произвольными и должны удовлетворять т.н. неравенствам Белла:
$ \left| x - y \right| \leqslant 1-z $,
$\left| x - z \right| \leqslant 1-y $,
$\left| y - z \right| \leqslant 1-x $.
Реально в физике могут применяться несколько другие, но очень близкие и такие же элементарные неравенства.
Вот доказательство самого Белла. Область интегрирования $\Omega$ и переменную интегрирования $\omega$ в дальнейшем для краткости писать не будем.
$ \left| x - y \right| =  \left| \int (uv -  uw)d\mu\right| = \left| \int uv(1 -  vw)d\mu\right| \leqslant \int \left| 1 -  vw\right| d\mu =1 - z$.
Очевидно, что три неравенства Белла эквивалентны следующим трем неравенствам, которые назовем неравенствами В.
$1 + x - y - z  \geqslant 0$,
$ 1 - x - y + z  \geqslant 0$,
$ 1 - x + y - z  \geqslant 0$.
Если измеренные в эксперименте ковариации $x$, $y$, $z$ не удовлетворяют этим неравенствам, то считается, что теория вероятностей не выполняется, что в квантовой механике и имеет место. Т.е. неравенства В являются необходимым условием для того, чтобы числа $-1\leqslant x$, $y$, $z\leqslant1$ были ковариациями некоторых трех случайных двухзначных величин $u$, $v$, $w = ±1$. Этого физикам, вроде бы, хватает для счастья. Но математик сразу же должен спросить строгим голосом, а не являются ли неравенства В и достаточным условием? Ответ очевиден – нет. Ковариации $x = -1$, $y = -1$, $z  = -1$ удовлетворяют неравенствам В, но три с.в. с такими ковариациями не существуют. Но, может быть, можно к неравенствам В добавить еще какое-нибудь условие, так, чтобы все это стало необходимым и достаточным? В настоящее время, судя по всему, такого условия не известно. Именно такое условие я и хочу предложить к обсуждению.
Теорема.
Необходимым и достаточным условием существования трех двухзначных с.в. $u$, $v$, $w = ±1$ с ковариациями $-1\leqslant x$, $y$, $z\leqslant1$ является выполнение следующих четырех неравенств.
$1 + x + y + z  \geqslant 0$,
$1 + x - y - z  \geqslant 0$,
$ 1 - x - y + z  \geqslant 0$,
$ 1 - x + y - z  \geqslant 0$.
Первое неравенство, судя по всему, является новым. Остальные три являются неравенствами Белла.
Доказательство я приведу, если хоть одна душа выразит желание его увидеть. Оно совершенно элементарно и доступно третьекурснику.
Тут возникают аналогичные вопросы. Пусть $u$, $v$, $w$ три вектора в $\mathbb{R}^3$. Найти соотношения между косинусами углов между ними $-1\leqslant x$, $y$, $z\leqslant1$ необходимые и достаточные для существования этих векторов. Это легко. Аналогично, в $\mathbb{R}^n$. И самое интересное при $n\to \infty$.
Из математиков неравенствами Белла много занимался А.Ю. Хренников http://w3.msi.vxu.se/Personer/akhmasda/home.html . Он видел эту теорему (но не проверял доказательство) и даже давал рекомендации по ее публикации. Так, что если найдутся желающие что-нибудь доказать на эту тему и стать соавторами, то милости просим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства Белла
Сообщение14.02.2011, 00:03 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
 i  Возвращено (я еще ссылку первую поправлю)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства Белла
Сообщение15.02.2011, 13:24 


12/09/06
617
Черноморск
Хорошо, зайдем с другой стороны. Нас уверяют, что мы живем в $\mathbb{R}^3$. Как это проверить? Можно строить всевозможные прямоугольные треугольники и проверять теорему Пифагора. Но так нужно измерять и расстояния и углы, накапливается погрешность и т.п. Поставим себе цель проверить евклидовость локально вблизи начала координат и измерять при этом только углы.
Возьмем три произвольных вектора $ u,v,w$ единичной длинны, выходящих из начала координат $ u = (u_1, u_2, u_3) $, $ v = (v_1, v_2, v_3) $, $ w = (w_1, w_2, w_3) $.
Косинусы углов между ними обозначим $ x = (u, v) $, $ y = (u, w) $, $ z = (v, w) $. Это аналоги ковариаций между случайными величинами.
Векторы $ u,v,w$ могут располагаться в произвольных направлениях. Но углы между ними уже не могут быть произвольными. Точнее, угол между $ u$ и $ v$ можно выбрать произвольным. Между $ v$ и $ w$ тоже можно выбрать произвольным. Но угол между $ u$ и $ w$ уже не будет произвольным и должен удовлетворять некоторым ограничениям.
Это ограничение можно получить исходя из неравенства треугольника, записанного для трех точек, которые являются концами векторов $ u,v,w$.
Три числа $\left| u - v \right|$, $\left| u - w\right|$, $\left| v - w \right| $ являются длинами сторон некоторого треугольника в том и только в том случае, если удовлетворяют трем неравенствам треугольника:
$ \left| u - v \right| - \left| v - w \right|} \right \leqslant  \left| u - w\right|  \leqslant \left| u - v \right| + \left| v - w \right|$.
У нас по теореме косинусов
$\left| u - v \right|^2 = 2 - 2(u, v) = 2 - 2x $,
$\left| u -  w\right|^2 = 2 - 2(u, w) = 2 - 2y $,
$\left| v - w \right|^2 = 2 - 2(v, w) = 2 - 2z $.
Подставляем и получаем:
$| \sqrt{1 - x}  - \sqrt{1 - z}   \right|| \leqslant  \sqrt{1 - y}\leqslant  \sqrt{1 - x}  + \sqrt{1 - z}$.
Эти три неравенства будут необходимым и достаточным условием для того, чтобы числа $ x,y,z$, были косинусами углов между некоторыми тремя векторами, выходящими из одной точки.
Если кто-то измерит углы между тремя векторами в реальности, и окажется, что неравенства не выполняются, то он живет не в евклидовом пространстве. Эти неравенства являются точным аналогом неравенств Белла. Только неравенства Белла проверяют не пространство на евклидовость, а вероятность на Колмогоровость.
Вопрос 1. Что будет в $\mathbb{R}^n$ ?
Вопрос 2. Можно ли получить аналогичные неравенства в Гильбертовом пространстве, которые проверяли бы пространство на Гильбертовость?
PS Это сообщение является импровизацией и в нем могут быть ошибки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства Белла
Сообщение09.03.2011, 19:04 


07/09/07
463
Тоесть общая схема такая:
1. Есть некоторые объекты $u,v,w,...$
2. Есть некоторые наблюдаемые величины, которые моделируются функциями от этих объетов $x,y,z,...$
3. Проверяем некоторые условия на наблюдаемых величинах, выполняются они или нет.
4. Делаем выводы про величины $u,v,w,...$, их пространство.
Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства Белла
Сообщение09.03.2011, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
STilda
Лучше читайте про неравенства Белла в нормальных источниках. Здесь отсебятина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства Белла
Сообщение09.03.2011, 20:31 


12/09/06
617
Черноморск
u, v, w - случайные величины. Векторы в гильбертовом пространстве.
x, y, z - косинусы углов между ними.
Все это можно представлять как три единичных вектора, выходящих из начала координат.

В каком-то смысле любая самостоятельно доказанная теорема есть отсебятина. Так что г-н Munin абсолютно прав. Но нужно сказать, что изложение общих фактов, приведенное здесь, следует статьям в российских и зарубежных журналах. Ссылки нужны?
Munin в сообщении #421221 писал(а):
Здесь отсебятина

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2011, 11:53 


12/09/06
617
Черноморск
Ссылки не нужны.
Это дает основание предположить, что г. Munin недостаточно компетентен в теме и, вообще, недостаточно зрел для обсуждения подобных вопросов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2011, 15:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В.О. в сообщении #422040 писал(а):
Это дает основание предположить, что г. Munin недостаточно компетентен в теме и, вообще, недостаточно зрел для обсуждения подобных вопросов.

:-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства Белла
Сообщение16.06.2017, 10:45 


16/06/17
1
В.О. Очень просто и понятно приводит суть и доказательства Белла. Хорошо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства Белла
Сообщение16.06.2017, 13:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
В.О. в сообщении #412206 писал(а):
Теорема.
Необходимым и достаточным условием существования трех двухзначных с.в. $u$, $v$, $w = ±1$ с ковариациями $-1\leqslant x$, $y$, $z\leqslant1$ является выполнение следующих четырех неравенств.
$1 + x + y + z  \geqslant 0$,
$1 + x - y - z  \geqslant 0$,
$ 1 - x - y + z  \geqslant 0$,
$ 1 - x + y - z  \geqslant 0$.
Первое неравенство, судя по всему, является новым. Остальные три являются неравенствами Белла.
Доказательство я приведу, если хоть одна душа выразит желание его увидеть. Оно совершенно элементарно и доступно третьекурснику.
Ну, необходимость первого неравенства здесь совершенно очевидна: например, возьмём второе неравенство, которое уже доказано, применим его к случайным величинам $u$, $v$, $-w$ и получим первое. Аналогично из второго же неравенства выводятся третье и четвёртое.
А вот достаточность интереснее. Но тоже достаточно просто. Рассмотрим совместное распределение случайных величин $u$, $v$, $w$. Обозначим $p_{ijk}\geqslant 0$ вероятность того, что $u=2i-1$, $v=2j-1$, $w=2k-1$. Таким образом, значениям случайных величин $-1$ и $1$ соответствуют значения индексов $0$ и $1$. Сумма всех вероятностей, естественно, равна $1$. Вычисляя математические ожидания попарных произведений, которые совпадают с ковариациями, если хотя бы одно из математических ожиданий случайных величин в каждой паре равно $0$, получим систему уравнений: $$\begin{cases}p_{000}+p_{001}+p_{010}+p_{011}+p_{100}+p_{101}+p_{110}+p{111}=1,\\ p_{000}+p_{001}-p_{010}-p_{011}-p_{100}-p_{101}+p_{110}+p{111}=x,\\ p_{000}-p_{001}-p_{010}+p_{011}+p_{100}-p_{101}-p_{110}+p{111}=y,\\ p_{000}-p_{001}-p_{010}+p_{011}+p_{100}-p_{101}-p_{110}+p{111}=z.\end{cases}\eqno(1)$$ Здесь четыре уравнения для восьми неизвестных, так что будет не менее четырёх свободных переменных. Я ничего не упустил?
Вычисляя комбинации $1+x+y+z$, $1+x-y-z$, $1-x+y-z$, $1-x-y+z$, получим $$\begin{cases}4(p_{000}+p_{111})=1+x+y+z,\\ 4(p_{001}+p_{110})=1+x-y-z,\\ 4(p_{010}+p_{101})=1-x+y-z,\\ 4(p_{100}+p_{011})=1-x-y+z.\end{cases}\eqno(2)$$ Легко заметить, что все четыре неравенства сразу же следуют из равенств (2) и неотрицательности вероятностей. Без каких-либо интегралов.
Наоборот, если указанные неравенства выполняются, и учитывая, что $-1\leqslant x\leqslant 1$, $-1\leqslant y\leqslant 1$, $-1\leqslant z\leqslant 1$, получим, что $$\begin{cases}0\leqslant p_{000}+p_{111}=\frac 14(1+x+y+z)\leqslant 1,\\ 0\leqslant p_{001}+p_{110}=\frac 14(1+x-y-z)\leqslant 1,\\ 0\leqslant p_{010}+p_{101}=\frac 14(1-x+y-z)\leqslant 1,\\ 0\leqslant p_{100}+p_{011}=\frac 14(1-x-y+z)\leqslant 1,\end{cases}\eqno(3)$$ причём, сумма правых частей равенств равна $1$.
Пользуясь выражениями (3), легко подобрать требуемое совместное распределение случайных величин $u$, $v$, $w$.
Поскольку ковариация $u$ и $v$ равна $\mathbf M(uv)-\mathbf Mu\cdot\mathbf Mv$, величины $x$, $y$, $z$ действительно будут ковариациями, если хотя бы два из трёх математических ожиданий $\mathbf Mu$, $\mathbf Mv$, $\mathbf Mw$ будут равны $0$. Чтобы не возиться, можно взять $$\begin{cases}p_{000}=p_{111}=\frac 18(1+x+y+z),\\ p_{001}=p_{110}=\frac 18(1+x-y-z),\\ p_{010}=p_{101}=\frac 18(1-x+y-z),\\ p_{100}=p_{011}=\frac 18(1-x-y+z).\end{cases}\eqno(4)$$ Тогда случайные величины $u$, $v$, $w$ будут принимать свои значения $-1$ и $1$ с одинаковыми вероятностями, и математические ожидания будут равны $0$.

В.О. в сообщении #413245 писал(а):
Хорошо, зайдем с другой стороны. Нас уверяют, что мы живем в $\mathbb{R}^3$. Как это проверить? Можно строить всевозможные прямоугольные треугольники и проверять теорему Пифагора. Но так нужно измерять и расстояния и углы, накапливается погрешность и т.п. Поставим себе цель проверить евклидовость локально вблизи начала координат и измерять при этом только углы.
Я не понял, что именно Вы хотите проверять. Евклидовость? Или трёхмерность? Или и то, и другое сразу?

В.О. в сообщении #413245 писал(а):
Вопрос 1. Что будет в $\mathbb{R}^n$ ?
Вопрос 2. Можно ли получить аналогичные неравенства в Гильбертовом пространстве, которые проверяли бы пространство на Гильбертовость?
Собственно, в $\mathbb R^n$, $n\geqslant 3$, и в гильбертовом пространстве будет всё то же самое, что и в $\mathbb R^3$. По банальной причине: любые три вектора заведомо содержатся в каком-нибудь трёхмерном подпространстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства Белла
Сообщение16.06.2017, 20:50 


25/08/11

1074
Munin - где прочитать в нормальных источниках?
Ссылка на Хренникова нерабочая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства Белла
Сообщение21.06.2017, 01:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Сегодня вполне сгодится
https://en.wikipedia.org/wiki/Bell's_theorem#Bell_inequalities
+ ссылки на литературу в этой статье.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group