2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предельные циклы и замкнутые траектории
Сообщение16.06.2017, 22:40 


25/10/15
20
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться как найти предельные циклы у данной системы
$\dot{x}=-x+2y$
$\dot{y}=-\sin x +y$
Критерий Бендиксона не работает, так так дивергенция ноль. Есть только одна особая точка отвечающая нулевому решению, тип центр у линеаризованной системы, поэтому не могу точно определить устойчивость или неустойчивость данного решения у исходной системы. А можно ли воспользоваться в данном случае формулой Грина? Просто получается, что циркуляция векторного поля вдоль любой замкнутой кривой отрицательна, соответственно у меня есть подозрения, что это показывает о том, что замкнутых траекторий нет.
Заранее спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные циклы и замкнутые траектории
Сообщение17.06.2017, 00:38 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Bellesimmo
Посчитайте $\ddot{x}$....

-- 17.06.2017, 02:43 --

Или сделайте замену $(x,y) \to (x,y-2x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные циклы и замкнутые траектории
Сообщение17.06.2017, 01:12 


25/10/15
20
А разве вторая производная что-то покажет в данном случае?
То есть даже если циркуляция отрицательная, то замкнутые траектории все равно могут быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные циклы и замкнутые траектории
Сообщение17.06.2017, 02:29 


25/10/15
20
Нашла первый интеграл)))
$\cos x + xy - y^2 = C$
Получается, что нулевое решение устойчиво

-- 17.06.2017, 02:30 --

И это центр(можно построить траектории)

-- 17.06.2017, 02:31 --

А предельных циклов нет, так как все траектории будут замкнутыми

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные циклы и замкнутые траектории
Сообщение17.06.2017, 12:26 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Bellesimmo
ДА!
Bellesimmo в сообщении #1226438 писал(а):
Нашла первый интеграл)))

После замены, он виден невооруженным глазом, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные циклы и замкнутые траектории
Сообщение17.06.2017, 18:28 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Bellesimmo в сообщении #1226369 писал(а):
Просто получается, что циркуляция векторного поля вдоль любой замкнутой кривой отрицательна, соответственно у меня есть подозрения, что это показывает о том, что замкнутых траекторий нет.
Bellesimmo в сообщении #1226433 писал(а):
То есть даже если циркуляция отрицательная, то замкнутые траектории все равно могут быть?
DeBill, Bellesimmo
Объясните, пожалуйста, как отрицательная циркуляция может указывать на отсутствие замкнутых траекторий. Вот векторное поле $y\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial y}$, у него все интегральные линии замкнутые, а циркуляция отрицательная. :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные циклы и замкнутые траектории
Сообщение17.06.2017, 20:00 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
svv в сообщении #1226585 писал(а):
как отрицательная циркуляция может указывать на отсутствие замкнутых траекторий

Не знаю. Возможно, ТС имела в виду простые следствия формулы Грина, типа:
1. Если дивергенция поля $v=(P,Q)$ в односвязной области $D$ не обращается в нуль, то там нет циклов (ибо $\int\limits_{\gamma}^{} Qdx - Pdy$ равен нулю для любой фазовой кривой $\gamma$)
2. Если $Q'_x < P'_y$ в $D$, то там нет "положительно ориентированных циклов" (ибо интеграл $\int\limits_{\gamma}^{} Pdx +Qdy$ положителен)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные циклы и замкнутые траектории
Сообщение17.06.2017, 22:39 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Спасибо.
А я так рассуждал. Дивергенция нашего поля $V$ равна нулю. Это всё равно, что $d\omega=0$, где
$\omega={}^*V=(-\sin x+y)dx+(x-2y)dy=d(\cos x+xy-y^2)=df$
Тогда $Vf=\omega(V)=0$, то есть $f$ — первый интеграл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные циклы и замкнутые траектории
Сообщение17.06.2017, 23:23 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Ага. А я так: дивергенция нулевая, значит, фазовый поток сохраняет площадь, значит, система гамильтонова. и гамильтониан - первый интеграл. Но
svv в сообщении #1226657 писал(а):
А я так

- лучше. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные циклы и замкнутые траектории
Сообщение17.06.2017, 23:44 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Нет-нет, у Вас лучше!
Вот ещё картинка:
Изображение
Видны три особые точки. Видно, что замкнутые траектории есть только внутри «рыбки», она же «глазик».

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные циклы и замкнутые траектории
Сообщение18.06.2017, 01:05 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
svv
Кайф! А кто ее нарисовал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные циклы и замкнутые траектории
Сообщение18.06.2017, 09:42 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Это я составил программку на C++Builder (аналог Delphi). Подход такой: для каждой точки $(x, y)$ области вычисляем $z=\cos x+xy-y^2$. Область значений $z$ разбиваем на зоны: синие зоны чередуются с белыми зонами.
Тонкости:
1) Если все зоны будут иметь одинаковое $\Delta z$, синие и белые полосы на картинке будут или слишком редкие в центре, или слишком частые на периферии, поэтому пришлось вводить дополнительную «уравнивающую» функцию $\sqrt{|1-z|}$, которая уже делится на равномерные зоны.
2) Хотелось бы, чтобы граница полос проходила через особые точки (уголки глазика), это нужно дополнительно сместить зоны на нужную величину.

В предыдущем подходе рисовались именно траектории: точка бросалась случайным образом и немножко «ехала» на фазовом потоке, потом я её снимал и бросал следующую. Получалось так:
Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group