2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Вопросы по устойчивости для системы ДУ
Сообщение16.06.2017, 16:38 
Аватара пользователя


10/06/17

13
Наш разговор становится содержательным, обсуждаемым. Спасибо.
DeBill в сообщении #1225914 писал(а):
Фишка в том, что автор статьи (не указав это изначально!), использует отсутствие (некоторых) резонансов: "Мы также предполагаем ....", стр.3, строка 7).

Кажется, вы правильно указали на границы применимости этого метода. Но для новой системы возможен частный случай $y'=-Ay+e^{-At} f\left(t,e^{At} y\right)=-Ay+f_{1} (y)$, где в правой части, начиная со второй степени, находится произвольный ряд по $y$. Как его получить, рассказано в предыдущем сообщении. Эта система автономна, поэтому в указанном вами условии: «Мы так же предполагаем, что $\left(q_{1} -q_{2} \right)w+p\ne 0$. Для иррационального $w$ это условие выполняется как только $q_{1} \ne q_{2} $, в исследуемом сейчас случае $\left|Q\right|=3$ это неравенство всегда справедливо», параметр $p$ всегда равен нулю. То есть метод применим в этом конкретном случае для особенностей любого порядка, если можно так выразиться.
DeBill в сообщении #1225914 писал(а):
Описание простейшего метода разрешения особенностей есть в книжке Арнольда (Доп.главы..., г.1, п.2). Исследование особых точек с линейной частью типа "центр" - там же, г.6, п.33.
В отношении этого метода у меня есть подозрение, что для первого шага он ещё может сработать, а дальше не обязательно. Прошу прощения, но точнее сказать не могу, потому что давно читал шестую главу. То же, возможно, относится и к его модификации в книге Хазина Л.Г., Шноля Э.Э. «Устойчивость критических положений равновесия (1985)». Более того, у меня вызывает сомнение даже КАМ теория. Уже закрыл голову руками.

Мне очень нравится красивый результат Белицкого Г. Р. «Нормальные формы, инварианты и локальные отображения», Наукова думка, Киев, 1979, 176 с. В двумерном случае он позволяет свести систему для $y$, указанную выше, до одномерного уравнения $u'=uF\left(u\right)$, где $u\mathop{=}\limits^{{\rm df}} y_{1}^{2} +y_{2}^{2} =r^{2} $ и $F\left(0\right)=0$. Сходимость ряда функции $F\left(u\right)$ я не проверял. Кратко с ним можно ознакомиться в книге Ilyashenko Y., Yakovenko S. «Lectures on analytic differential equations» на странице 46. Это максимально возможное упрощение системы с помощью преобразований Пуанкаре. Но этот результат даже теоретически очень сложен, тем более создание вычислительного алгоритма на его основе. Однако книгу Белицкого Г. Р. я не читал, может быть, этот интереснейший математик его придумал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по устойчивости для системы ДУ
Сообщение16.06.2017, 19:30 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Schoti в сообщении #1226197 писал(а):
То есть метод применим в этом конкретном случае для особенностей любого порядка, если можно так выразиться.

Да. Но давайте посмотрим, что же будет происходить. Автор строит функцию Ляпунова. Для этого он нормализует (приводит к нормальной форме) систему в младших членах, и пытается (при необнулении $h$) построить ф.Л.. Если $h$ занулилась, он проводит нормализацию в следующих членах, и т.д.. Что это будет означать для автономной системы? Да в точности ее нормализацию по Пуанкаре-Дюлаку, что и продемонстрировано у Арнольда: для линейной части типа "центр", как только возникает ненулевой резонансный моном, так сразу и решается вопрос об устойчивости особой точки... Так что, по сравнению с традиционным методом, никакой выгоды/разницы.

-- 16.06.2017, 21:38 --

Schoti в сообщении #1226197 писал(а):
В отношении этого метода у меня есть подозрение, что для первого шага он ещё может сработать, а дальше не обязательно.

Нет: доказано, что для аналитического векторного поля, на некотором шаге, все полученные особые точки будут элементарными (и это позволит нарисовать для каждой из них фазовый портрет). Беда, однако, в том, что есть исключтельные ситуации (монодромные особые точки), в которых даже знание локального поведения системы в окрестностях каждой их возникших в процессе раздутия особых точек, не позволяет (сразу) сделать вывод об устойчивости исходной (неэлементарной): надо исследовать хар. показатель ее преобразования монодромии.

-- 16.06.2017, 21:49 --

Schoti в сообщении #1226197 писал(а):
у меня вызывает сомнение даже КАМ теория.

:D
Schoti в сообщении #1226197 писал(а):
нравится красивый результат Белицкого Г. Р.

Да, хорошая работа. Но, насколько я помню, главное достижение Белицкого состояло в построении "красивых" нормальных форм для нильпотентной жордановой клетки (в частности, нормальная форма Такенса-Богданова есть совсем частный случай н.ф. Белицкого). И: раздутие (сигма-процесс - трехшаговый, для типичной особенности) - здесь все еще работает.
Schoti в сообщении #1226197 писал(а):
позволяет свести систему для $y$, указанную выше, до одномерного уравнения

Эта система называется фактор-системой. Построение фактор-системы (приводящее к понижению размерности на единичку) и есть основной профит от теории нормальных форм. Так, в случае периодической системы, приведение ее к резонансной нормальной форме позволяет (ВАШЕЙ ЗАМЕНОЙ!) привести систему к автономному виду...

(Оффтоп)

Т.е., традиционный путь исследования обратен Вашему. Конечно, иногда замена чего-то простого сложным дает таки выгоды. Но здесь я их пока не вижу...


-- 16.06.2017, 22:09 --

Schoti в сообщении #1226197 писал(а):
Сходимость ряда функции $F\left(u\right)$ я не проверял.

А я проверял :D ... Нет ее, вообще говоря. Это указал еще Брюно. С тех пор вопрос был полностью исследован... :D
Однако, для исследования устойчивости, сходимость этого ряда несущественна: вопрос решается по первому ненулевому члену (а буде таковых нет, то будет центр!)
Schoti в сообщении #1226197 писал(а):
книге Ilyashenko Y., Yakovenko S.

Да, замечательная книга. У меня бумажных книг не шибко много, но эта КНИГА (на сайте авторов она фигурирует как The Book) есть аж в трех экземплярах: распечатанная на принтере, англейская версия, и русская - зато с дарственной)
Однако, при чтении спецкурсов по Динамическим системам и Теории нормальных форм, я таки рекомендую студентам в первую очередь Арнольда (и лишь самым продвинутым - IYa)
Schoti в сообщении #1226197 писал(а):
создание вычислительного алгоритма на его основе.

Для особой точки типа "центр", вычислительный алгоритм не шибко сложен. Проблемы возникают, когда особая точка неэлементарная. Однако, даже в этом случае, насколько я знаю, проблема уже исследована достаточно глубоко. Вроде, даже в случае, когда ломаная Ньютона состоит из двух ребер, дело доведено до алгоритмов....

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по устойчивости для системы ДУ
Сообщение17.06.2017, 15:52 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Schoti в сообщении #1226197 писал(а):
создание вычислительного алгоритма на его основе.

Вот только что написал рецензию на статью, в которой разработан алгоритм (в Maple) вычисления коэффициентов преобразования монодромии монодромной особой точки, ломаная Ньютона которой состоит из одного ребра. (За устойчивость отвечает первый нетривиальный к-т... ). Так что алгоритмы - в более-менее простых случаях - есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по устойчивости для системы ДУ
Сообщение17.06.2017, 23:33 
Аватара пользователя


10/06/17

13
Я не специализируюсь в ОДУ, поэтому знаком с этой интереснейшей, фундаментальной областью лишь поверхностно, и оставляю за собой право задавать глупые (для специалиста) вопросы и делать такие же ошибки. Вопрос о применимости метода Арнольда В. И. в книге «Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений» (1978) на стр. 169 для исследования устойчивости снимаю, для его понимания (на последующих шагах, после первого) нужно было ещё немного подумать о сохранении сопряжённости двух уравнений в системе. Вопрос к КАМ теории тоже, я перепутал эту теорию с доказательством теоремы Зигеля, параграф 28 той же книги, я застрял там на второй лемме, кажется(?). Именно поэтому я заинтересовался книгой Ilyashenko Y., Yakovenko S. «Lectures on analytic differential equations», потому что в ней доказательство сходимости рядов Пуанкаре-Дюлака проводится согласно рассуждениям Пуанкаре (нерезонансный случай) и Ляпунова-Дюлака (резонансный случай, модификация метода Пуанкаре), а не с помощью теоремы Зигеля как у Арнольда В. И., если не ошибаюсь.
DeBill в сообщении #1226294 писал(а):
Так что, по сравнению с традиционным методом, никакой выгоды/разницы.

Я сформулировал наиболее простой частный случай, чтобы ответить на ваш конкретный вопрос о резонансах. Но как я уже говорил, можно усложнить систему $\frac{dx}{dt} =f(t,x)$, $f(t,0)=0$, $\frac{\partial f(t,0)}{\partial x} =0$, придав ей чётную размерность и сделав правую часть почти периодической по $t$ или, что почти то же самое, только проще, условно-периодической - та же книга Арнольда В. И., стр. 183. Сделаем в ней замену $x=e^{At} y$, где для $2n$-мерного случая $A=\left(\begin{array}{ccccc} {0} & {w_{1} } & {0} & {\ldots } & {0} \\ {-w_{1} } & {0} & {} & {\ddots } & {\vdots } \\ {0} & {} & {\ddots } & {} & {0} \\ {\vdots } & {\ddots } & {} & {0} & {w_{n} } \\ {0} & {\ldots } & {0} & {-w_{n} } & {0} \end{array}\right)$, числа $w_{j} \ne 0$, $j=\overline{1,n}$ можно взять любыми, то есть матрица $e^{At} $ почти периодическая, и снова получаем уравнение $y'=-Ay+e^{-At} f\left(t,e^{At} y\right)$. Далее можно применить метод из указанной ранее статьи.

Чтобы показать применимость метода из статьи, можно рассмотреть более сложный частный случай, когда $f(t,x)=e^{At} f_{1} \left(t,e^{-At} x\right)$, где функция $f_{1} (t,u)$ почти периодическая по $t$ и обладает теми же свойствами: $f_{1} (t,0)=0$, $\frac{\partial f_{1} (t,0)}{\partial u} =0$. Тогда для $y$ получаем систему $y'=-Ay+e^{-At} f\left(t,e^{At} y\right)=-Ay+f_{1} (t,y)$, у которой в правой части, начиная со второй степени, находится произвольный ряд по $y$ с почти периодическими коэффициентами. Далее можно применить метод из статьи. Чтобы при этом не возникало вопросов о возможности его «поломки» из-за резонансов, можно предположить в двумерном случае периодичность по $t$ с периодом $2\pi $ функции $f_{1} (t,y)$ и иррациональность единственного $w$.

В целом метод академика Арнольда для двумерного случая и периодических коэффициентов (стр. 180 из цитируемой книги), возможно, будет работать лучше, потому что его резонансы уже сами по себе дают ответ на вопрос об устойчивости системы. Иными словами, у него нет условия нерезонансности на определённом этапе построения функции Ляпунова как в статье.

Ваши ссылки на книгу Арнольда В. И. «Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений» (1978) относились, если не ошибаюсь, к рассмотренным там вопросам устойчивости двумерных систем с постоянными (стр. 169) и периодическими (стр. 180) коэффициентами. Я подчёркиваю, что упрощение системы с помощью преобразований Пуанкаре-Дюлака и исследование её устойчивости для размерности больше двух это, как мне кажется, не одно и то же, а вопросы устойчивости академик Арнольд рассматривал только в двумерном случае. Самый последний результат в цитируемой книге академика Арнольда, относящийся к нормальным формам систем ДУ, это случай условно-периодических коэффициентов на стр. 183, там не говорится об устойчивости, а дана ссылка на результат Э. Г. Белаги, посвящённый линеаризации такой системы, как я понимаю, тоже при определённых условиях. Скажите, пожалуйста, сделаны ли обобщения названных методов на произвольную чётную размерность и случай условно-периодических коэффициентов? Обобщение на двумерный случай с условно-периодическими коэффициентами кажется даже мне возможным и не очень сложным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по устойчивости для системы ДУ
Сообщение18.06.2017, 01:02 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Schoti в сообщении #1226668 писал(а):
ссылки на книгу Арнольда относились,, к рассмотренным там вопросам устойчивости двумерных систем

О да. Также и все мои рассуждения.
О многомерных системах: тут я ориентируюсь довольно слабо, так что
Schoti в сообщении #1226668 писал(а):
сделаны ли обобщения названных методов на произвольную чётную размерность и случай условно-периодических коэффициентов?

- не знаю. Вроде бы, при отсутствии перекрестных резонансов (т.е., между частотами), все также делается.
Критерии устойчивости в размерности 4 (две пары чисто мнимых собственных значений, автономный случай) есть в "зеленой энциклопедии" (стр.64-70).

Schoti в сообщении #1226668 писал(а):
можно рассмотреть более сложный частный случай,

В этом случае, видимо, метода будет работать. Но тут можно и по Арнольду: В размерности 2, формальная нормальная форма есть на стр. 180: по первому ее к-ту и определим устойчивость. Для условно-периодических: полезно посмотреть г.4 - про усреднение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по устойчивости для системы ДУ
Сообщение18.06.2017, 02:48 
Аватара пользователя


10/06/17

13
Кажется, в статье в многомерном случае условия требуют отсутствия перекрёстных резонансов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group