Предел функции

[gris]

Я давно уже им (ей?) не пользовался. Меня беспокоит второе слагаемое. Там в знаменателе $\exp(2x)$.
Можно оценить $\lg(\exp(2x))=0,87x=600;x=690$. То есть, начиная с $x=700$ начинается накопление ошибки. А следующее слагаемое имеет другой знак. Критично ли всё это? При замене переменной, конечно, шестисот знаков хватит.
По-крайней мере, при построении графика возможен такой глюк. Хотя знаменатель так устроен, что околонулевые слагаемые друг с другом не контактируют. Если бы у меня был Мапл, то я бы поиграл с этим делом.
Был один случай, правда не с серьёзным пакетом, а с самодельной программой, где какая-то константа типа $\pi$ хранилась с двадцатью знаками и всё было нормально, пока не пришлось вычитать арктангенс большого числа и делить или умножать, короче, всё поплыло. Вообще численные вычисления опасны. Надо следить за порядком действий, округлением и т.п. Особенно, если числа катастрофически большие, но не целые. Странно, что Мапл так себя ведёт. Я бы попробовал менять выражение и найти, где прячется глюк.

[Lia]

Безотносительно к проблемам с Maple.

Anna from Svetl в сообщении #1226420 писал(а):

я стала искать способ, как взять предел вручную (очевидно, по Лопиталю, не вижу другого способа).

Вообще говоря, не только не очевидно, но очевидно, что по Лопиталю считать такой громоздкий предел вредно. А вот асимптотических разложений до первой степени включая будет достаточно.

[Anna from Svetl]

gris, пробовала уже менять, ничего толкового пока не получилось. Впрочем, мне достаточно, что я вручную правильно взяла предел, хотя с ошибкой Maple неплохо было бы разобраться.

Lia, по Лопиталю для меня было очевидно, поскольку мне была известна производная знаменателя (знаменатель является интегралом от нее с постоянной интегрирования, подобранной так, чтобы на бесконечности он стремился к нулю).
Я правильно понимаю, что для разложения в ряд, скажем, функции

$$ y(x)=\arctg(\sqrt{2}\mathrm{e}^{x/2}+1) $$

нужно сделать замену переменной $\mathrm{e}^{x/2}=u$, получить функцию

$$ y(u)=\arctg(\sqrt{2}u+1), $$

затем в ней выполнить замену переменной $u=1/t$, получить функцию

$$ y(t)=\arctg\left(\dfrac{\sqrt{2}}{t}+1\right). $$

Потом разложить ее в ряд Маклорена, а затем в этом ряду сделать обратную замену $t=\mathrm{e}^{-x/2}$?

[provincialka]

И зачем вам нужна замена $u=1/t$? Что она меняет принципиально?
Проблема в том, что аргумент арктангенса у вас стремится к бесконечности, а в бесконечности у нас формулы Тейлора нет.

Лучше так: $\arctg z = \pi/2-\arcctg z = \pi/2-\arctg (1/ z)$. А вот $1/z$ уже стремится к 0, так что
$\arctg z= \pi/2-1/z+o(1/z^2)$

-- 17.06.2017, 18:43 --

Но вообще-то, если

Anna from Svetl в сообщении #1226586 писал(а):

мне была известна производная знаменателя

то применения Лопиталя оправдано.

[Anna from Svetl]

provincialka, замену $u=1/t$ я сделала, чтобы перейти от разложения на бесконечности к разложению в окрестности нуля. Не совсем понимаю, как происходит переход $\pi/2-\arcctg z=\pi/2 -\arctg(1/z)$.

[Lia]

$\arcctg x=\arctg (1/x)$ при $x>0$, что нетрудно доказать, и вообще известно.

[Anna from Svetl]

Lia, не сообразила сразу, что область $x<0$ не интересует в данной задаче, а так формула понятная, конечно.